Segnatura (algebra lineare)

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In matematica, e più precisamente in algebra lineare, la segnatura è una terna di numeri che fornisce delle informazioni su una matrice simmetrica o su un prodotto scalare.

La segnatura è utile a determinare le proprietà essenziali di un prodotto scalare. Ad esempio, un prodotto scalare definito positivo, come quello presente in uno spazio euclideo, ha segnatura , mentre lo spazio-tempo di Minkowski (fondamentale nella teoria della relatività) ha segnatura oppure , a seconda delle convenzioni.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Sia una matrice simmetrica reale (cioè i cui valori sono numeri reali). La segnatura di è una terna di numeri naturali definita nel modo seguente: i valori e sono rispettivamente il numero di autovalori positivi, negativi e nulli di , ciascuno è contato con la sua molteplicità algebrica.

Se è un prodotto scalare su uno spazio vettoriale di dimensione finita, la segnatura di è definita come la segnatura della matrice che rappresenta rispetto ad una qualsiasi base.[1]

Notazioni alternative[modifica | modifica wikitesto]

Nei casi in cui , vengono spesso usate notazioni differenti per la segnatura. Innanzitutto, il termine è omesso, e si parla di segnatura come coppia di numeri. In alternativa, la segnatura è descritta scrivendo i segni "" e "" rispettivamente e volte. Quindi si scrive per , cioè , e per , cioè . Queste sono le notazioni usate ad esempio nella relatività ristretta e generale.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Teorema spettrale[modifica | modifica wikitesto]

Per il teorema spettrale, una matrice simmetrica reale è diagonalizzabile. In particolare, ha esattamente autovalori (contati con molteplicità). Quindi .

Teorema di Sylvester[modifica | modifica wikitesto]

Per il teorema di Sylvester, due prodotti scalari sono isometrici se e solo se hanno la stessa segnatura. Quindi la segnatura è un invariante completo per i prodotti scalari, visti a meno di isometria. Analogamente, due matrici simmetriche sono congruenti se e solo se hanno la stessa segnatura.

Interpretazione geometrica degli indici[modifica | modifica wikitesto]

I valori e sono detti indice di positività, negatività e nullità. L'indice di nullità è la dimensione del radicale di , oppure del nucleo di . Quindi un prodotto scalare non degenere ha segnatura .

Gli indici e sono la massima dimensione di un sottospazio su cui il prodotto scalare è rispettivamente definito positivo o negativo.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Matrici[modifica | modifica wikitesto]

La segnatura della matrice identità è . Più in generale, la segnatura di una matrice diagonale è la terna formata dal numero di elementi positivi, negativi e nulli sulla diagonale principale.

Le matrici seguenti hanno entrambe segnatura , e sono quindi congruenti per il teorema di Sylvester:

Prodotti scalari[modifica | modifica wikitesto]

Il prodotto scalare standard in ha segnatura . Un prodotto scalare ha questa segnatura se e solo se è definito positivo.

Un prodotto scalare definito negativo ha segnatura . Un prodotto scalare semidefinito positivo ha segnatura , ed uno semidefinito negativo .

Lo spazio-tempo di Minkowski è con il prodotto scalare definito dalla matrice:

ed ha quindi segnatura . Alcuni autori usano la matrice con i segni opposti, ottenendo la segnatura .

Calcolo della segnatura[modifica | modifica wikitesto]

Per calcolare la segnatura di una matrice (simmetrica) sono disponibili alcune tecniche.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Grazie al teorema di Sylvester, questa definizione non dipende dalla base scelta.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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