Congruenza fra matrici

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In matematica, e più precisamente in algebra lineare, la congruenza fra matrici è una relazione di equivalenza tra matrici. Si tratta di una relazione utilizzata in particolare nello studio delle forme bilineari, come ad esempio i prodotti scalari, dal momento che, dato uno spazio vettoriale, due matrici si dicono congruenti se rappresentano la stessa forma bilineare rispetto a due basi diverse dello spazio.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Due matrici quadrate e , a valori in un campo , sono congruenti se esiste una matrice invertibile tale che

dove è la matrice trasposta di .

Prodotti scalari[modifica | modifica wikitesto]

La relazione di congruenza è solitamente studiata fra matrici simmetriche, in quanto due prodotti scalari sono isometrici se e solo se sono rappresentati da matrici congruenti (rispetto a basi qualsiasi).

Più formalmente, se sono prodotti scalari e sono due basi qualsiasi, e è la matrice che rappresenta rispetto a per ogni , allora e sono isometrici se e solo se e sono congruenti.

Teorema di Sylvester[modifica | modifica wikitesto]

Magnifying glass icon mgx2.svgLo stesso argomento in dettaglio: Teorema di Sylvester.

Nel caso in cui il campo sia il campo dei numeri reali o complessi, il teorema di Sylvester fornisce un invariante completo che caratterizza completamente le classi di equivalenza di matrici simmetriche congruenti.

Nel caso reale, tale invariante è la segnatura, definita nel modo seguente: è una terna di numeri , indicanti rispettivamente il numero di autovalori reali positivi, negativi e nulli della matrice. Per il teorema spettrale, una matrice simmetrica è diagonalizzabile e quindi la somma , pari al numero totale di autovalori, è pari al numero di righe della matrice.

Congruenza per forme hermitiane[modifica | modifica wikitesto]

Se è il campo dei numeri complessi, è possibile definire una nozione di congruenza lievemente differente: secondo questa definizione, due matrici sono congruenti se esiste una invertibile con

dove è la matrice trasposta coniugata di . Questa definizione è utile per le matrici hermitiane: in questo contesto, due matrici hermitiane rappresentano forme hermitiane rispetto ad alcune basi, e analogamente a quanto visto prima le forme sono isometriche se e solo se le matrici sono congruenti.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Gruenberg, K.W., Weir, A.J., Linear geometry, van Nostrand, 1967, p. 80.
  • (EN) Hadley, G., Linear algebra, Addison-Wesley, 1961, p. 253.
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  • (EN) Mirsky, L., An introduction to linear algebra, Dover Publications, 1990, p. 182, ISBN 0-486-66434-1.
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  • (EN) Norman, C.W., Undergraduate algebra, Oxford University Press, 1986, p. 354, ISBN 0-19-853248-2.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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