Equivalenza sinistra-destra tra matrici

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
Jump to navigation Jump to search

In matematica, e più precisamente in algebra lineare, due matrici e sono SD-equivalenti quando esistono due matrici invertibili e tali che:

La sigla SD sta per equivalenza sinistra-destra.

La SD-equivalenza è una relazione di equivalenza, e induce quindi una partizione dell'insieme di tutte le matrici a valori in un campo . Si tratta di una relazione di equivalenza più semplice della più usata similitudine: due matrici risultano essere SD-equivalenti se e solo se hanno lo stesso rango.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Siano e due matrici , Queste sono SD-equivalenti se esistono due matrici invertibili e (la prima , la seconda ) tali che:

Rango[modifica | modifica wikitesto]

Il rango è un invariante completo per la SD-equivalenza: questo vuol dire che due matrici sono SD-equivalenti se e solo se hanno lo stesso rango.

In particolare, ogni matrice è SD-equivalente ad una matrice del tipo:

dove è il rango di , è la matrice identità e è la matrice nulla .

Relazioni con le altre equivalenze[modifica | modifica wikitesto]

Due matrici simili sono anche SD-equivalenti. L'opposto non è però vero in generale. Ad esempio, le matrici costanti di un dato ordine multiple dell'identità sono tutte SD-equivalenti, mentre ciascuna di esse da sola costituisce una classe di similitudine; ancora due matrici con lo stesso rango ma con diverso determinante (oppure con autovalori differenti) sono SD-equivalenti ma non simili; evidenti coppie di queste matrici hanno la forma con c .

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Marco Abate, Geometria, McGraw-Hill, 1996.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica