Ortogonalizzazione di Gram-Schmidt

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In matematica, e in particolare in algebra lineare, l'ortogonalizzazione Gram-Schmidt è un algoritmo che permette di ottenere un insieme di vettori ortogonali a partire da un generico insieme di vettori linearmente indipendenti in uno spazio vettoriale dotato di un prodotto scalare definito positivo.[1]

Cenni storici[modifica | modifica wikitesto]

Il procedimento è così chiamato in onore del matematico danese Jørgen Pedersen Gram (1850-1916) e del matematico tedesco Erhard Schmidt (1876-1959); esso però è stato introdotto precedentemente ai loro studi e si trova in lavori di Laplace e Cauchy.

Quando si implementa l'ortogonalizzazione su un computer, al processo di Gram-Schmidt di solito si preferisce la trasformazione di Householder, in quanto questa è numericamente più stabile, cioè gli errori causati dall'arrotondamento sono minori.

L'algoritmo[modifica | modifica wikitesto]

Sia uno spazio vettoriale reale con un prodotto scalare definito positivo. Siano vettori indipendenti in . L'algoritmo di Gram-Schmidt restituisce n vettori linearmente indipendenti tali che:

e:

In altre parole, i vettori restituiti sono ortonormali, ed i primi i generano lo stesso sottospazio di prima.[1]

Procedimento[modifica | modifica wikitesto]

La proiezione ortogonale è la funzione che "proietta" il vettore in modo ortogonale su :[2]

Il procedimento di Gram–Schmidt permette di costruire una base ortogonale a partire da una base generica . Per calcolare si proietta ortogonalmente sul sottospazio generato da . Si definisce allora come differenza tra e questa proiezione, in modo che risulta garantito che esso sia ortogonale a tutti i vettori nel sottospazio . Normalizzando poi la base ortogonale (cioè dividendo ogni vettore che la compone per la propria norma ) si ottiene una base ortonormale dello spazio.[3]

Nello specifico:

I primi due passi dell'algoritmo.

dove è la base normalizzata.

Una verifica immediata della correttezza del procedimento eseguito, ovvero che si è ottenuto un insieme di vettori mutuamente ortogonali, è il calcolo del prodotto scalare fra e .

Generalizzazioni[modifica | modifica wikitesto]

Il processo di Gram-Schmidt si applica anche ad una successione infinita di vettori linearmente indipendenti. Il risultato è sempre una successione di vettori ortogonali e con norma unitaria, tale che:

Scrittura per mezzo del determinante[modifica | modifica wikitesto]

Il risultato del procedimento di Gram-Schmidt può essere espresso in modo non ricorsivo utilizzando il determinante:

dove , e per la matrice è la matrice di Gram:

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

Dati i vettori e nel piano euclideo munito del prodotto scalare standard, applicando il procedimento di Gram-Schmidt si ha:

ottenendo i vettori e che sono ortogonali fra loro, come mostra il loro prodotto scalare:

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ a b Hoffman, Kunze, Pag. 280
  2. ^ S. Lang, Pag. 152
  3. ^ S. Lang, Pag. 154

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
  • (EN) Kenneth Hoffman, Ray Kunze, Linear Algebra, 2ª ed., Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice - Hall, inc., 1971, ISBN 0-13-536821-9.
  • (EN) F.R. Gantmacher, The theory of matrices , 1 , Chelsea, reprint (1977)
  • (EN) A.G. Kurosh, Higher algebra , MIR (1972)

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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