Sottospazio ortogonale

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In algebra lineare, il sottospazio ortogonale realizza il concetto di ortogonalità per sottospazi di uno spazio vettoriale munito di un prodotto scalare. Quando il prodotto scalare è definito positivo, il sottospazio ortogonale è spesso chiamato anche complemento ortogonale.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Sia uno spazio vettoriale su un campo munito di un prodotto scalare o di una forma hermitiana . Sia un sottoinsieme di . Il sottospazio ortogonale di è l'insieme dei vettori ortogonali a tutti i vettori di :[1]

Dove due vettori di sono detti ortogonali se e solo se .

Si dimostra facilmente che l'insieme , munito della somma e del prodotto mutuati da , è un sottospazio vettoriale di ; si dimostra inoltre che, se è il sottospazio generato dai vettori di , allora:

Dimensioni e somma diretta[modifica | modifica wikitesto]

Il sottospazio ortogonale è un sottospazio vettoriale di . La sua dimensione non è fissata generalmente, ma vale la disuguaglianza:

Se il prodotto scalare o la forma hermitiana è non degenere, vale l'uguaglianza:

Infine, se e è un prodotto scalare definito positivo, oppure se e è una forma hermitiana definita positiva, lo spazio ed il suo ortogonale sono in somma diretta:[2]

Questo è il caso ad esempio in ogni spazio euclideo o spazio di Hilbert. Lo stesso risultato vale se è definito negativo. Per questo motivo, se è definito positivo o negativo il sottospazio ortogonale è chiamato anche complemento ortogonale.

Relazioni con le altre operazioni[modifica | modifica wikitesto]

Valgono le relazioni seguenti per ogni coppia e di sottospazi di :

Se è non degenere, vale:

Radicale[modifica | modifica wikitesto]

Il radicale di è definito come il sottospazio formato dai vettori che sono ortogonali a qualsiasi vettore di :

Un prodotto scalare (o forma hermitiana) è non degenere quando il radicale è il sottospazio banale (consta cioè del solo elemento zero).

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Hoffman, Kunze, Pag. 285
  2. ^ Hoffman, Kunze, Pag. 286

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Kenneth Hoffman, Ray Kunze, Linear Algebra, 2ª ed., Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice - Hall, inc., 1971, ISBN 0-13-536821-9.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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