Norma operatoriale

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In matematica, la norma operatoriale di un operatore lineare è la norma definita sullo spazio degli operatori limitati lineari tra spazi vettoriali normati.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Considerando due spazi normati e sul medesimo campo o , una trasformazione lineare è continua se e solo se esiste un numero reale tale per cui:

Intuitivamente, l'operatore non "allunga" mai i vettori su cui agisce di un fattore maggiore di . In questo modo, l'immagine di un insieme limitato è limitata. Da questo fatto segue che gli operatori lineari continui sono anche detti operatori limitati.

La norma operatoriale è definita considerando il più piccolo tale per cui la precedente uguaglianza vale per ogni :

dove il minimo esiste sempre grazie al fatto che tale insieme è chiuso, limitato e non vuoto.

Si può mostrare che le seguenti definizioni sono equivalenti a quella data:

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

La norma operatoriale è una norma definita sullo spazio degli operatori limitati da in , che significa:

  • e se e solo se .
  • Si verifica:
dove è uno scalare.
  • Valgono le disuguaglianze:

Se , e sono spazi normati sullo stesso campo e , sono operatori limitati, allora:

Per gli operatori limitati su questo implica che la moltiplicazione tra operatori è continua.

Dalla definizione segue inoltre che se una successione di operatori converge nella norma operatoriale allora converge uniformemente su insiemi limitati.

Operatori in spazi di Hilbert[modifica | modifica wikitesto]

Sia uno spazio di Hilbert reale e un operatore lineare limitato. Allora si ha:

e inoltre:

dove è l'operatore aggiunto di (che in uno spazio euclideo con il prodotto scalare standard è rapprersentato dalla matrice trasposta coniugata di ).

In generale, il raggio spettrale di è limitato dalla norma operatoriale di :

Quando una matrice è normale la sua forma canonica di Jordan è diagonale, in accordo con il teorema spettrale. In tal caso è semplice vedere che:

Il teorema spettrale può essere esteso a operatori normali in generale, e la precedente uguaglianza vale per ogni operatore normale limitato . Lo spazio degli operatori limitati su con la topologia indotta dalla norma operatoriale non è separabile. L'insieme degli operatori limitati su uno spazio di Hilbert, insieme con la norma operatoriale e l'operazione di aggiuntezza, produce una C*-algebra.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • John B. Conway, A course in functional analysis, New York, Springer-Verlag, 1990, p. 67, ISBN 0-387-97245-5.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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