Matrice definita positiva

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In matematica, e più precisamente in algebra lineare, una matrice definita positiva è una matrice quadrata tale che, detto il trasposto complesso coniugato di , si verifica che la parte reale di è positiva per ogni vettore complesso .

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Nonostante la definizione si utilizzi solitamente nel caso di matrici hermitiane e simmetriche reali, in generale una matrice quadrata (di dimensioni ) si dice definita positiva quando:[1]

ovvero quando il prodotto , che è sempre un numero complesso, ha parte reale strettamente positiva per ogni vettore non nullo (indicando con il vettore complesso coniugato trasposto del vettore ).

In modo equivalente, una generica matrice quadrata complessa è definita positiva se la propria parte Hermitiana:

è definita positiva, ovvero per .

Un'altra definizione è la seguente: una generica matrice quadrata complessa è definita positiva se tutti gli autovalori della propria parte Hermitiana sono strettamente positivi.[1]

Matrici hermitiane[modifica | modifica wikitesto]

Una matrice simmetrica reale è anche hermitiana, ed una matrice hermitiana di dimensione è una matrice definita positiva se ha una delle seguenti proprietà equivalenti (e quindi le possiede tutte):

  • Per tutti i vettori non nulli in si ha , dove è visto come un vettore colonna con componenti complesse e come la complessa coniugata della sua trasposta. Se è hermitiana, è sempre reale, ed ha quindi senso chiedere che sia positivo.
  • Per tutti i vettori non nulli in si ha , dove denota la trasposta del vettore colonna .
  • Per tutti i vettori non nulli in (tutte le componenti sono intere), si ha .
  • Tutti gli autovalori di sono numeri reali positivi.
  • La forma hermitiana definisce un prodotto hermitiano definito positivo su .
  • Criterio di Sylvester: tutte le sottomatrici quadrate superiori sinistre hanno determinante positivo (i minori principali secondo l'ordine da 1 a n). Altrimenti detto, tutti i determinanti delle matrici Nord-Ovest sono positivi non nulli.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Le matrici definite positive hanno un comportamento simile ai numeri reali positivi.

  • Ogni matrice simmetrica definita positiva ha tutti gli autovalori strettamente positivi.
  • Ogni matrice simmetrica semidefinita positiva ha tutti gli autovalori non negativi.
  • Ogni matrice simmetrica definita negativa ha tutti gli autovalori strettamente negativi.
  • Ogni matrice simmetrica semidefinita negativa ha tutti gli autovalori non positivi.
  • Ogni matrice definita positiva è invertibile e la sua inversa è anch'essa definita positiva.
  • Se è definita positiva e è un numero reale, allora è definita positiva.
  • Se e sono definite positive, allora è anch'essa definita positiva; se inoltre , cioè le matrici commutano, allora è anch'essa definita positiva.
  • Ogni matrice definita positiva ha una radice quadrata, cioè una matrice tale che . Una matrice definita positiva può avere un gran numero di radici quadrate, ma una e una sola radice quadrata definita positiva.
  • Se la matrice che stiamo considerando è simmetrica reale essa è definita positiva se la sua segnatura è dove è il rango della matrice.
  • Per il criterio di Sylvester, una matrice simmetrica è definita positiva se e solo se i suoi minori principali sono tutti positivi.

Matrici definite negative, semidefinite e indefinite[modifica | modifica wikitesto]

La matrice hermitiana si dice definita negativa se:

per tutti gli elementi non nulli in (o, equivalentemente, tutti elementi non nulli in ).

La matrice è chiamata semidefinita positiva se:

Per tutti gli in (o ) si dice invece semidefinita negativa se:

per tutti gli in (o ). Come sopra, indica la complessa coniugata della sua trasposta. Nel caso in cui sia un vettore in , questa operazione coincide con la trasposizione e si può scrivere al posto di .

Una matrice hermitiana che non è né positiva né semidefinita negativa è chiamata indefinita. In maniera equivalente una matrice è chiamata indefinita se ha due autovalori di segno opposto.

Prodotti scalari e forme hermitiane[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Prodotto scalare e Forma sesquilineare.

Le matrici definite positive sono utili per definire una geometria su uno spazio vettoriale, che possa usare i concetti di angolo e lunghezza. Sia un campo o , uno spazio vettoriale su , e una forma hermitiana se o un prodotto scalare se . La forma è chiamata definita positiva se per ogni in diverso dal vettore zero: questa proprietà garantisce che i vettori hanno "lunghezza positiva" e danno a una struttura simile a quella dello spazio euclideo.

Forme quadratiche[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Forma quadratica.

La forma quadratica associata ad una matrice reale è la funzione tale che per tutti gli . La matrice è definita positiva se e solo se è simmetrica e la sua forma quadratica è una funzione strettamente convessa.

Più in generale, ogni polinomio di secondo grado può essere scritto come , dove è una matrice simmetrica , è un vettore reale e una costante. La funzione è strettamente convessa se è definita positiva.

Diagonalizzazione simultanea[modifica | modifica wikitesto]

Una matrice simmetrica e una matrice simmetrica definita positiva possono essere simultaneamente diagonalizzate, anche se non necessariamente per mezzo di una trasformazione per similitudine, ed il risultato non si estende al caso di tre o più matrici. Nello specifico, se è simmetrica e è simmetrica e definita positiva, la generica equazione agli autovalori è:

dove si impone che sia normalizzato, cioè . Tramite la decomposizione di Cholesky è possibile scrivere l'inversa di come . Moltiplicando per e si ottiene:

che può essere riscritta come:

dove . Tramite alcune manipolazioni si ottiene:

dove è una matrice avente come colonne gli autovettori generalizzati e è una matrice diagonale i cui elementi sono gli autovalori generalizzati. Moltiplicando quindi per si ha:

anche se non si tratta più di una diagonalizzazione ortogonale.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ a b (EN) Eric W. Weisstein, Positive definite matrix, in MathWorld, Wolfram Research.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Marius Stoka, Corso di geometria, CEDAM, 1995, ISBN 88-13-19192-8.
  • (EN) Rajendra Bhatia. Positive definite matrices. Princeton Series in Applied Mathematics, 2007. ISBN 978-0-691-12918-1.
  • (EN) Ayres, F. Jr. Schaum's Outline of Theory and Problems of Matrices. New York: Schaum, p. 134, 1962.
  • (EN) Golub, G. H. and Van Loan, C. F. "Positive Definite Systems." §4.2 in Matrix Computations, 3rd ed. Baltimore, MD: Johns Hopkins University Press, pp. 140-141, 1996.
  • (EN) Gradshteyn, I. S. and Ryzhik, I. M. Tables of Integrals, Series, and Products, 6th ed. San Diego, CA: Academic Press, p. 1106, 2000.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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