Decomposizione di Cholesky

In algebra lineare la decomposizione di Cholesky è la fattorizzazione di una matrice hermitiana e definita positiva in una matrice triangolare inferiore e nella sua trasposta coniugata. Essa si può considerare come un caso speciale della più generale decomposizione LU. Il nome di questa decomposizione ricorda il matematico francese André-Louis Cholesky (1875-1918).

Definizione

Sia $A$ una matrice quadrata, hermitiana e definita positiva su campo $K$; tale $A$ può essere decomposta come:

$\mathbf {A} =\mathbf {L} \mathbf {L} ^{+}\qquad (\mathbf {A} \in \mathbb {K} ^{m\times m})$

con $L$ matrice triangolare inferiore con elementi diagonali positivi e $L^{+}$ la matrice coniugata trasposta di $L$.

Se la matrice $A$ è reale e simmetrica, la coniugata trasposta di $L$ coincide con la trasposta e la decomposizione si semplifica:

$\mathbf {A} =\mathbf {L} \mathbf {L} ^{T}\qquad (\mathbf {A} \in \mathbb {R} ^{n\times n})$

Algoritmo di Cholesky

L'algoritmo di Cholesky, usato per calcolare la matrice di decomposizione $L$, è una versione modificata dell'algoritmo di Gauss.

L'algoritmo ricorsivo inizia con il considerare:

$\mathbf {A} ^{(1)}:=\mathbf {A}$

$\mathbf {A} ^{(i)}:={\begin{pmatrix}a_{i,i}&\mathbf {b} _{i}^{*}\\\mathbf {b} _{i}&\mathbf {B} ^{(i)}\end{pmatrix}}$

$\mathbf {L} _{i}:={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {a_{i,i}}}}&0\\-{\frac {1}{a_{i,i}}}\mathbf {b} _{i}&\mathbf {I} \end{pmatrix}}$

$\mathbf {A} ^{(i)}:=\mathbf {L} _{i}^{-1}{\begin{pmatrix}1&0\\0&\mathbf {B} ^{(i)}-{\frac {1}{a_{i,i}}}\mathbf {b} _{i}\mathbf {b} _{i}^{*}\end{pmatrix}}(\mathbf {L} _{i}^{-1})^{*}$

Si definisce per i successivi i:

$\mathbf {A} ^{(i+1)}:=\mathbf {B} ^{(i)}-{\frac {1}{a_{i,i}}}\mathbf {b} _{i}\mathbf {b} _{i}^{*}$

in modo che:

$\mathbf {A} ^{(i)}=\mathbf {L} _{i}^{-1}{\begin{pmatrix}1&0\\0&\mathbf {A} ^{(i+1)}\end{pmatrix}}(\mathbf {L} _{i}^{-1})^{*}$

La ricorsione termina dopo n passi dove $A^{(n)}=1$. Si vede che la matrice triangolare inferiore $L$ è calcolata come:

$\mathbf {L} :=\mathbf {L} _{1}\mathbf {L} _{2}\dots \mathbf {L} _{n}$

Algoritmo di Cholesky Banachiewicz

L'algoritmo di Cholesky Banachiewicz dà una formula per calcolare direttamente le entrate della matrice triangolare inferiore $L$. Esso inizia formando l'angolo superiore sinistro della matrice $L$ e procede a calcolare la matrice riga per riga:

$\forall i=1,\dots ,m$
    $\forall j=1,\dots ,(i-1)$
      $l_{i,j}={\frac {1}{l_{j,j}}}\left(a_{i,j}-\sum _{\iota =1}^{j-1}l_{i,\iota }l_{j,\iota }\right)$
    $l_{i,i}={\sqrt {a_{i,i}-\sum _{k=1}^{i-1}l_{i,k}^{2}}}.$

Algoritmo di Cholesky-Crout

L'algoritmo di Cholesky-Crout fornisce un procedimento un po' differente per calcolare le entrate della matrice triangolare inferiore $L$. Inizia formando l'angolo superiore sinistro della matrice $L$ e procede a calcolare la matrice colonna per colonna:

 $\forall i=1,\dots ,m$
   $l_{i,i}={\sqrt {a_{i,i}-\sum _{k=1}^{i-1}l_{i,k}^{2}}}.$
   $\forall j=(i+1),\dots ,m$
     $l_{j,i}={\frac {1}{l_{i,i}}}\left(a_{j,i}-\sum _{\iota =1}^{i-1}l_{j,\iota }l_{i,\iota }\right)$

Esempio

Un esempio pratico per una decomposizione di Cholesky di una matrice 2x2:

$A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$

$A=PP'$

$P={\begin{bmatrix}{\sqrt {a}}&0\\{\frac {b}{\sqrt {a}}}&{\sqrt {d-{\frac {b^{2}}{a}}}}\end{bmatrix}}$

Bibliografia

• (EN) S. J. Julier and J. K. Uhlmann. A General Method for Approximating Nonlinear Transformations of ProbabilityDistributions.
• (EN) S. J. Julier and J.K. Uhlmann, A new extension of the Kalman filter to nonlinear systems, in Proc. AeroSense: 11th Int. Symp. Aerospace/Defence Sensing, Simulation and Controls, 1997, pp. 182–193.

Voci correlate

• Decomposizione LU
• Decomposizione di una matrice
• Decomposizione QR
• Matrice hermitiana
• Matrice quadrata
• Matrice simmetrica
• Matrice trasposta coniugata
• Matrice triangolare