Decomposizione di Cholesky

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In algebra lineare la decomposizione di Cholesky è la fattorizzazione di una matrice hermitiana e definita positiva in una matrice triangolare inferiore e nella sua trasposta coniugata. Essa si può considerare come un caso speciale della più generale decomposizione LU. Il nome di questa decomposizione ricorda il matematico francese André-Louis Cholesky (1875-1918).

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Sia una matrice quadrata, hermitiana e definita positiva su campo ; tale può essere decomposta come:

con matrice triangolare inferiore con elementi diagonali positivi e la matrice coniugata trasposta di .

Se la matrice è reale e simmetrica, la coniugata trasposta di coincide con la trasposta e la decomposizione si semplifica:

Algoritmo di Cholesky[modifica | modifica wikitesto]

L'algoritmo di Cholesky, usato per calcolare la matrice di decomposizione , è una versione modificata dell'algoritmo di Gauss.

L'algoritmo ricorsivo inizia con il considerare:

Si definisce per i successivi i:

in modo che:

La ricorsione termina dopo n passi dove . Si vede che la matrice triangolare inferiore è calcolata come:

Algoritmo di Cholesky Banachiewicz[modifica | modifica wikitesto]

L'algoritmo di Cholesky Banachiewicz dà una formula per calcolare direttamente le entrate della matrice triangolare inferiore . Esso inizia formando l'angolo superiore sinistro della matrice e procede a calcolare la matrice riga per riga:


    
      
    

Algoritmo di Cholesky-Crout[modifica | modifica wikitesto]

L'algoritmo di Cholesky-Crout fornisce un procedimento un po' differente per calcolare le entrate della matrice triangolare inferiore . Inizia formando l'angolo superiore sinistro della matrice e procede a calcolare la matrice colonna per colonna:

 
   
   
     

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) S. J. Julier and J. K. Uhlmann. A General Method for Approximating Nonlinear Transformations of ProbabilityDistributions.
  • (EN) S. J. Julier and J.K. Uhlmann, A new extension of the Kalman filter to nonlinear systems, in Proc. AeroSense: 11th Int. Symp. Aerospace/Defence Sensing, Simulation and Controls, 1997, pp. 182–193.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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