Criterio di Sylvester

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In algebra lineare, il criterio di Sylvester è un teorema che fornisce una condizione necessaria e sufficiente affinché una matrice simmetrica o un prodotto scalare siano definiti positivi.

Stabilisce che una matrice hermitiana è definita positiva se e solo se tutti i minori principali di guida sono positivi.

Il criterio[modifica | modifica wikitesto]

Sia una matrice simmetrica reale di dimensione . Per , sia il determinante (minore) della matrice ottenuta cancellando da le ultime righe e le ultime colonne.

Il criterio di Sylvester asserisce che la matrice è definita positiva se e solo se per ogni .[1]

Esiste un analogo criterio per testare le matrici definite negative: la matrice è definita negativa se e solo se per ogni .

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

La dimostrazione nel seguito è valida per matrici hermitiane non singolari con coefficienti in , ovvero matrici simmetriche non singolari.

Una matrice simmetrica è definita positiva se tutti i suoi autovalori sono maggiori di zero (), mentre è detta definita non-negativa se .

  • Teorema 1: Una matrice simmetrica possiede autovalori non negativi se e solo se può essere fattorizzata come , e tutti gli autovalori sono positivi se e solo se è non singolare.
Per dimostrare l'implicazione diretta, si nota che se è simmetrica allora per il teorema spettrale è diagonalizzabile: esiste una matrice ortogonale tale che , dove è una matrice diagonale reale con sulla diagonale gli autovalori di (che sono gli stessi di ), e le colonne di sono gli autovettori di . Se per ogni i allora esiste, e si ha:
per , dove per ogni i se è non singolare.
Per ottenere l'implicazione inversa, si nota che se può essere fattorizzata come allora tutti gli autovalori di sono non negativi perché per ogni coppia si ha:
  • Teorema 2 (decomposizione di Cholesky): La matrice simmetrica possiede pivot positivi se e solo se può essere fattorizzata come , dove è una matrice triangolare superiore con gli elementi della diagonale positivi. Si tratta della decomposizione di Cholesky di , e è il fattore di Cholesky di .
Per dimostrare l'implicazione diretta, se possiede pivot positivi (quindi è possibile una decomposizione LU) allora è possibile una fattorizzazione del tipo in cui è la matrice diagonale contenente i pivot :
x x x
Per l'unicità della decomposizione così effettuata, la simmetria di produce il fatto che , di conseguenza . Ponendo , dove , la simmetria di conduce alla fattorizzazione desiderata in quanto:
e è una matrice triangolare superiore con gli elementi della diagonale positivi.
Per ottenere l'implicazione inversa, se con una matrice triangolare inferiore, allora la fattorizzazione è:
x
dove è triangolare inferiore con una diagonale di tutti 1 e è una matrice diagonale la cui diagonale è composta dagli elementi . Di conseguenza, è la fattorizzazione di , e così i pivot devono essere positivi perché sono la diagonale di .
  • Teorema 3: Sia la principale sottomatrice di guida di dimensione di . Se posside una fattorizzazione LU allora e il k-esimo pivot è per , mentre è per .

Combinando i teoremi 1, 2 e 3 si conclude che:

  • Se la matrice simmetrica può essere fattorizzata come , dove è triangolare superiore la cui diagonale è composta da elementi positivi, allora tutti i pivot di sono positivi per il teorema 2, e quindi tutti i minori principali di guida di sono positivi per il teorema 3.
  • Se la matrice simmetrica non singolare può essere fattorizzata come allora la decomposizione QR (legata al procedimento di Gram-Schmidt) di produce , dove è una matrice ortogonale e è triangolare superiore. Si nota che questo enunciato richiede la non singolarità di .

Dai risultati ottenuti, in particolare dalle due precedenti osservazioni e dal teorema 1, segue che se una matrice reale simmetrica è definita positiva allora possiede una fattorizzazione della forma , dove è non singolare. L'espressione implica che può essere fattorizzata come , dove è una matrice triangolare superiore la cui diagonale è composta da elementi maggiori di zero. In altre parole, una matrice simmetrica è definita positiva se e solo se tutti i suoi minori principali di guida sono positivi. La validità della condizione necessaria e sufficiente è automatica in quanto è stata mostrata per ognuno dei teoremi enunciati.

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

La matrice:

è definita positiva, in quanto i determinanti:

sono tutti positivi.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ "Matematica Numerica", Quarteroni, Sacco, Saleri, edizioni Springer, seconda edizione, §1.12

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Ayres, F. Jr. Schaum's Outline of Theory and Problems of Matrices. New York: Schaum, p. 134, 1962.
  • (EN) Golub, G. H. and Van Loan, C. F. "Positive Definite Systems." §4.2 in Matrix Computations, 3rd ed. Baltimore, MD: Johns Hopkins University Press, pp. 140-141, 1996.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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