Criterio di Sylvester

In algebra lineare, il criterio di Sylvester è un teorema che fornisce una condizione necessaria e sufficiente affinché una matrice simmetrica o un prodotto scalare siano definiti positivi.

Stabilisce che una matrice hermitiana è definita positiva se e solo se tutti i minori principali di guida sono positivi.

Il criterio

Sia $A$ una matrice simmetrica reale di dimensione $n$. Per $i=1,\ldots ,n$, sia $d_{i}$ il determinante (minore) della matrice ottenuta cancellando da $A$ le ultime $n-i$ righe e le ultime $n-i$ colonne.

Il criterio di Sylvester asserisce che la matrice $A$ è definita positiva se e solo se $d_{i}>0$ per ogni $i$.

Esiste un analogo criterio per testare le matrici definite negative: la matrice $A$ è definita negativa se e solo se $(-1)^{i}d_{i}>0$ per ogni $i$.

Dimostrazione

La dimostrazione nel seguito è valida per matrici hermitiane non singolari con coefficienti in $\mathbb {R}$, ovvero matrici simmetriche non singolari.

Una matrice simmetrica $A$ è definita positiva se tutti i suoi autovalori $\lambda$ sono maggiori di zero ($\lambda >0$), mentre è detta definita non-negativa se $\lambda \geq 0$.

• Teorema 1: Una matrice simmetrica $A$ possiede autovalori non negativi se e solo se può essere fattorizzata come $A=B^{T}B$, e tutti gli autovalori sono positivi se e solo se $B$ è non singolare.

Per dimostrare l'implicazione diretta, si nota che se $A\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ è simmetrica allora per il teorema spettrale è diagonalizzabile: esiste una matrice ortogonale $P$ tale che $A=PDP^{T}$, dove $D=\mathrm {diag} (\lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n})$ è una matrice diagonale reale con sulla diagonale gli autovalori di $A$ (che sono gli stessi di $D$), e le colonne di $P$ sono gli autovettori di $A$. Se $\lambda _{i}\geq 0$ per ogni i allora $D^{1/2}$ esiste, e si ha:

$A=PDP^{T}=PD^{1/2}D^{1/2}P^{T}=B^{T}B$

per $B=D^{1/2}P^{T}$, dove $\lambda _{i}\geq 0$ per ogni i se $B$ è non singolare.

Per ottenere l'implicazione inversa, si nota che se $A$ può essere fattorizzata come $A=B^{T}B$ allora tutti gli autovalori di $A$ sono non negativi perché per ogni coppia $(\lambda ,x)$ si ha:

$\lambda ={\frac {x^{T}Ax}{x^{T}x}}={\frac {x^{T}B^{T}Bx}{x^{T}x}}={\frac {||Bx||^{2}}{||x||^{2}}}\geq 0$

• Teorema 2 (decomposizione di Cholesky): La matrice simmetrica $A$ possiede pivot positivi se e solo se può essere fattorizzata come $A=R^{T}R$, dove $R$ è una matrice triangolare superiore con gli elementi della diagonale positivi. Si tratta della decomposizione di Cholesky di $A$, e $R$ è il fattore di Cholesky di $A$.

Per dimostrare l'implicazione diretta, se $A$ possiede pivot positivi (quindi è possibile una decomposizione LU) allora è possibile una fattorizzazione del tipo $A=LDU=LDL^{T}$ in cui $D=\mathrm {diag} (u_{11},u_{22},\dots ,u_{nn})$ è la matrice diagonale contenente i pivot $u_{ii}>0$:

$A=LU'={\begin{bmatrix}1&0&.&0\\l_{12}&1&.&0\\.&.&.&.\\l_{1n}&l_{2n}&.&1\end{bmatrix}}$ x ${\begin{bmatrix}u_{11}&u_{12}&.&u_{1n}\\0&u_{22}&.&u_{2n}\\.&.&.&.\\0&0&.&u_{nn}\end{bmatrix}}=LDU={\begin{bmatrix}1&0&.&0\\l_{12}&1&.&0\\.&.&.&.\\l_{1n}&l_{2n}&.&1\end{bmatrix}}$ x ${\begin{bmatrix}u_{11}&0&.&0\\0&u_{22}&.&0\\.&.&.&.\\0&0&.&u_{nn}\end{bmatrix}}$ x ${\begin{bmatrix}1&u_{12}/u_{11}&.&u_{1n}/u_{11}\\0&1&.&u_{2n}/u_{22}\\.&.&.&.\\0&0&.&1\end{bmatrix}}$

Per l'unicità della decomposizione $LDU$ così effettuata, la simmetria di $A$ produce il fatto che $U=L^{T}$, di conseguenza $A=LDU=LDL^{T}$. Ponendo $R=D^{1/2}$, dove $D^{1/2}=\mathrm {diag} (\scriptstyle {\sqrt {u_{11}}},\scriptstyle {\sqrt {u_{22}}},\dots ,\scriptstyle {\sqrt {u_{11}}})$, la simmetria di $A$ conduce alla fattorizzazione desiderata in quanto:

$A=LD^{1/2}D^{1/2}L^{T}=R^{T}R$

e $R$ è una matrice triangolare superiore con gli elementi della diagonale positivi.

Per ottenere l'implicazione inversa, se $A=RR^{T}$ con $R$ una matrice triangolare inferiore, allora la fattorizzazione è:

$R=LD={\begin{bmatrix}1&0&.&0\\r_{12}/r_{11}&1&.&0\\.&.&.&.\\r_{1n}/r_{11}&r_{2n}/r_{22}&.&1\end{bmatrix}}$ x ${\begin{bmatrix}r_{11}&0&.&0\\0&r_{22}&.&0\\.&.&.&.\\0&0&.&r_{nn}\end{bmatrix}}$

dove $L$ è triangolare inferiore con una diagonale di tutti 1 e $D$ è una matrice diagonale la cui diagonale è composta dagli elementi $r_{ii}$. Di conseguenza, $A=LD^{2}L^{T}$ è la fattorizzazione $LDU$ di $A$, e così i pivot devono essere positivi perché sono la diagonale di $D^{2}$.

• Teorema 3: Sia $A_{k}$ la principale sottomatrice di guida di dimensione $k\times k$ di $A_{n\times n}$. Se $A$ posside una fattorizzazione LU allora $\det(A_{k})=u_{11}\cdot u_{22}\cdot \dots u_{kk}$ e il k-esimo pivot è $u_{kk}=\det(A_{1})=a_{11}$ per $k=1$, mentre è $u_{kk}=\det(A_{k})/\det(A_{k-1})=a_{11}$ per $k=2,3,\dots ,n$.

Combinando i teoremi 1, 2 e 3 si conclude che:

• Se la matrice simmetrica $A$ può essere fattorizzata come $A=R^{T}R$, dove $R$ è triangolare superiore la cui diagonale è composta da elementi positivi, allora tutti i pivot di $A$ sono positivi per il teorema 2, e quindi tutti i minori principali di guida di $A$ sono positivi per il teorema 3.
• Se la matrice simmetrica non singolare $A$ può essere fattorizzata come $A=B^{T}B$ allora la decomposizione QR $B=QR$ (legata al procedimento di Gram-Schmidt) di $B$ produce $A=B^{T}B=R^{T}Q^{T}QR=R^{T}R$, dove $Q$ è una matrice ortogonale e $R$ è triangolare superiore. Si nota che questo enunciato richiede la non singolarità di $A$.

Dai risultati ottenuti, in particolare dalle due precedenti osservazioni e dal teorema 1, segue che se una matrice reale simmetrica $A$ è definita positiva allora possiede una fattorizzazione della forma $A=B^{T}B$, dove $B$ è non singolare. L'espressione $A=B^{T}B$ implica che $A$ può essere fattorizzata come $A=R^{T}R$, dove $R$ è una matrice triangolare superiore la cui diagonale è composta da elementi maggiori di zero. In altre parole, una matrice simmetrica è definita positiva se e solo se tutti i suoi minori principali di guida sono positivi. La validità della condizione necessaria e sufficiente è automatica in quanto è stata mostrata per ognuno dei teoremi enunciati.

Esempio

La matrice:

${\begin{pmatrix}2&2&1\\2&5&0\\1&0&1\end{pmatrix}}$

è definita positiva, in quanto i determinanti:

$\det(2)=2\qquad \det {\begin{pmatrix}2&2\\2&5\end{pmatrix}}=6\qquad \det {\begin{pmatrix}2&2&1\\2&5&0\\1&0&1\end{pmatrix}}=1$

sono tutti positivi.

Bibliografia

• (EN) Ayres, F. Jr. Schaum's Outline of Theory and Problems of Matrices. New York: Schaum, p. 134, 1962.
• (EN) Golub, G. H. and Van Loan, C. F. "Positive Definite Systems." §4.2 in Matrix Computations, 3rd ed. Baltimore, MD: Johns Hopkins University Press, pp. 140–141, 1996.

Voci correlate

• Decomposizione di Cholesky
• Determinante
• Matrice definita positiva
• Matrice hermitiana
• Matrice simmetrica
• Minore (algebra lineare)
• Segnatura (algebra lineare)