Lagrangiana

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In fisica, in particolare nella meccanica lagrangiana, la lagrangiana di un sistema fisico è una funzione che ne caratterizza la dinamica, essendo per i sistemi meccanici la differenza tra l'energia cinetica e l'energia potenziale in ogni punto del percorso seguito durante il moto. In accordo con il principio di minima azione (principio variazionale di Hamilton), un sistema fisico in moto tra due punti segue un cammino che, tra tutti i percorsi possibili, è quello che minimizza la somma (l'integrale azione) dei valori della lagrangiana valutata in tutti i punti del cammino. A partire da ciò vengono scritte le equazioni del moto di Eulero-Lagrange.

Nel descrivere sistemi fisici l'invarianza (simmetria) della lagrangiana rispetto a trasformazioni continue delle coordinate determina la presenza di quantità conservate durante il moto, ovvero di costanti del moto, in accordo con il teorema di Noether.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

La lagrangiana di un sistema fisico è definita come la differenza tra l'energia cinetica e l'energia potenziale totale :

dove denota le coordinate generalizzate, le rispettive velocità e è il tempo. Nei sistemi conservativi, dove cioè l'energia potenziale non dipende dal tempo () e l'energia si conserva, la lagrangiana non dipende a sua volta dal tempo. Infatti, considerando un punto di massa , ha l'espressione:

Se la lagrangiana è conosciuta allora l'equazione del moto del sistema può essere scritta nella forma di equazioni di Eulero-Lagrange. La lagrangiana di un sistema non è unica: due lagrangiane che descrivono lo stesso sistema possono differire per la derivata totale rispetto al tempo di una qualche funzione , ma la corrispondente equazione del moto è la stessa.[1][2]

La lagrangiana viene talvolta espressa come dipendente anche dalle derivate delle coordinate successive alla prima, ed è definita in generale come una funzione sul fibrato tangente ad una varietà differenziabile (la varietà delle configurazioni) in un suo punto.

Lagrangiana ed equazioni di Eulero-Lagrange[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Equazioni di Eulero-Lagrange.

Per il principio di Hamilton le soluzioni delle equazioni di Eulero-Lagrange, ovvero le traiettorie (geodetiche) del sistema, sono tali da rendere stazionario (a variazione nulla) l'integrale azione calcolato sulle possibili traiettorie tra due punti fissati.

Per il teorema di Noether, inoltre, se una certa quantità è invariante rispetto alla trasformazione di un campo allora la corrispondente lagrangiana è simmetrica sotto tale trasformazione. Ad esempio, se la lagrangiana non dipende esplicitamente da una certa coordinata (detta in tal caso coordinata ciclica) si ha, attraverso le equazioni di Eulero-Lagrange:

e quindi:

è una costante del moto o quantità conservata.

Se in particolare la lagrangiana non dipende esplicitamente dal tempo l'hamiltoniana è una costante del moto; nello specifico tale quantità conservata ha la forma:

ovvero l'hamiltoniana è la trasformata di Legendre della lagrangiana. Se la lagrangiana è data dalla differenza di energia cinetica e potenziale risulta pari alla loro somma, ovvero all'energia totale del sistema. Se inoltre la relazione è invertibile le equazioni di Eulero-Lagrange sono equivalenti alle equazioni di Hamilton del sistema.

Densità di lagrangiana[modifica | modifica wikitesto]

In diversi ambiti della fisica, tra i quali l'elettrodinamica e la teoria quantistica dei campi, si definisce la densità di lagrangiana in modo tale che:

dove , e .

Ad esempio, in relatività speciale la densità di lagrangiana è utilizzata per il fatto di essere uno scalare di Lorentz locale, e l'azione viene definita attraverso l'integrale:

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

Si supponga di avere in uno spazio tridimensionale la lagrangiana:

dove la derivata rispetto al tempo è scritta convenzionalmente come un punto sopra la funzione che viene derivata. Si può mostrare facilmente che l'approccio di Lagrange è equivalente a quello newtoniano. Scrivendo la forza (conservativa) in termini del potenziale:

l'equazione risultante è infatti:

Supponendo quindi di voler rappresentare il moto di un punto materiale nello spazio tridimensionale usando coordinate sferiche , la forma della lagrangiana è:

Il vantaggio più immediato della formulazione lagrangiana rispetto a quella newtoniana consiste nel fatto che nel caso di sistemi vincolati è possibile ottenere le equazioni del moto senza dover tener conto delle reazioni vincolari (che sono per lo più indeterminate): a questo fine è sufficiente sostituire nella lagrangiana per il sistema non vincolato una opportuna parametrizzazione del vincolo. Ad esempio, per passare dalla descrizione di un punto materiale non soggetto a vincoli a quella di un punto materiale vincolato a restare a distanza fissa da un centro assegnato (pendolo sferico), è sufficiente porre nella lagrangiana in coordinate sferiche scritta sopra e ricavarne le equazioni di Lagrange per le sole funzioni incognite e . In questo modo si ottengono immediatamente le equazioni del moto, senza dover calcolare prima la proiezione delle forze attive sul piano tangente alla sfera di raggio (come sarebbe necessario fare per poter scrivere le equazioni di Newton).

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Herbert Goldstein, Charles P. Poole e John L. Safko, Classical Mechanics, 3rd, Addison-Wesley, 2002, p. 21, ISBN 978-0-201-65702-9.
  2. ^ L.D. Landau and E.M. Lifshitz ; translated from the Russian by J.B. Sykes and J.S. Bell, Mechanics, 3rd ed., Oxford, Butterworth-Heinemann, 1999, p. 4, ISBN 978-0-7506-2896-9.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]