Operatore di d'Alembert

L'operatore di d'Alembert (rappresentato con un quadrato: $\Box$ ), anche chiamato operatore dalembertiano^[1] dal nome di Jean Baptiste Le Rond d'Alembert oppure operatore delle onde, è l'estensione dell'operatore di Laplace nello spazio di Minkowski e di altre soluzioni delle equazioni di Einstein. È impiegato nella teoria delle onde, nell'elettromagnetismo e nella relatività speciale e generale.

In meccanica classica l'operatore dalembertiano si scrive:

\Box =\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2}+\partial _{z}^{2}-{\frac {1}{v^{2}}}\partial _{t}^{2}=\nabla ^{2}-{\frac {1}{v^{2}}}\partial _{t}^{2}

dove v è la velocità dell'onda e $\nabla ^{2}=\Delta$ è l'operatore di Laplace. Nella relatività ristretta il dalembertiano prende la forma:

\Box =\partial ^{\mu }\partial _{\mu }=\eta ^{\nu \mu }\partial _{\nu }\partial _{\mu }=-\partial _{0}^{2}+\partial _{1}^{2}+\partial _{2}^{2}+\partial _{3}^{2}=\Delta -{\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}

dove $\Delta$ è il laplaciano ed $\eta ^{\mu \nu }$ è il tensore metrico dello spazio-tempo di Minkowski con la segnatura $(-1,\;1,\;1,\;1)$ . È immediato verificare che il dalembertiano è un operatore invariante sotto trasformazioni di Lorentz e perciò non varia le proprietà di trasformazione dei tensori a cui è applicato.

Altre notazioni[modifica | modifica wikitesto]

Oltre al simbolo $\Box$ (quadrato) è spesso usato per l'operatore d'Alembertiano anche il simbolo $\Delta _{\mathbf {M} }$ , in analogia con il laplaciano ( $\mathbf {M}$ sta ad indicare lo spazio di Minkowski), oppure il simbolo $\Box ^{2}$ . A volte $\Box$ è usato per rappresentare la derivata covariante quadri-dimensionale di Levi-Civita. Il simbolo $\nabla$ (nabla) è usato invece per rappresentare le derivate spaziali, ma dipendente dalle coordinate.

Un altro modo per scrivere l'operatore d'Alembertiano è $\partial ^{2}$ . La notazione è comoda in teoria quantistica dei campi dove le derivate parziali sono di solito indicizzate.