Decadimento esponenziale

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Rappresentazione grafica di decadimenti con costanti di tempo di 25, 5, 1, 1/5, e 1/25.

In fisica e matematica, il decadimento esponenziale è la diminuzione di una quantità proporzionale al valore della stessa.

Equazione del decadimento esponenziale[modifica | modifica wikitesto]

Data una quantità il cui valore è N, il decadimento esponenziale è espresso dall'equazione differenziale

dove λ è un numero detto costante di decadimento.
La soluzione di questa equazione è

Dove N(t) è la quantità al tempo t, e è la quantità iniziale, al tempo t=0.

In alternativa si può scrivere

dove:

è detta costante di tempo ed è il tempo necessario a ridurre la quantità iniziale di circa il 63,21%.

Soluzione dell'equazione differenziale[modifica | modifica wikitesto]

L'equazione che descrive il decadimento esponenziale si può scrivere

integrando si ottiene

dove C è la costante di integrazione, e quindi

dove la sostituzione finale è ottenuta valutando l'equazione al tempo . Inoltre λ è l'autovalore dell'operatore differenziale con la relativa autofunzione. Il decadimento si misura in s-1.

Vita media[modifica | modifica wikitesto]

Dato un insieme di elementi, il cui numero decresce col tempo fino a diventare nullo, la vita media è il valore atteso del tempo che un elemento resta nell'insieme prima di esserne rimosso.

Data la quantità di elementi

si ha:

con c costante di normalizzazione:

Si nota che il decadimento esponenziale è un multiplo della distribuzione esponenziale, che ha un valore atteso ben noto. Usando l'integrazione per parti:

Decadimento in più fasi[modifica | modifica wikitesto]

Una quantità può decadere passando per due o più processi contemporaneamente, che in generale hanno differenti probabilità di verificarsi. Il valore di N è dato dalla somma dei possibili percorsi, e nel caso di due processi:

La soluzione è data nel paragrafo precedente, dove la somma dei è trattata come una nuova costante di decadimento totale .

Dal momento che :

Tempo di dimezzamento[modifica | modifica wikitesto]

Un parametro caratteristico del decadimento esponenziale è il tempo di dimezzamento, definito come il tempo occorrente per ridurre la quantità del 50%. Esso è legato alla costante di tempo dalla formula:

Nel caso di due processi si ha

dove è il tempo di dimezzamento del primo processo, e del secondo.

Nel caso di tre processi, infine:

Scienze naturali[modifica | modifica wikitesto]

  • In un campione di Radioisotopo che subisce un decadimento radioattivo con cui acquista un differente stato, il numero di atomi nello stato originale segue un decadimento esponenziale.
  • Se un oggetto ad una temperatura è immerso in un mezzo a temperatura differente, la differenza di temperatura segue un decadimento esponenziale.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]