Decadimento esponenziale

Rappresentazione grafica di decadimenti con costanti di tempo di 25, 5, 1, 1/5, e 1/25.

Una quantità è soggetta a decadimento esponenziale se diminuisce a una velocità proporzionale al suo valore corrente.

Equazione del decadimento esponenziale

Data una quantità il cui valore è N(t) al tempo t, il decadimento esponenziale in funzione del tempo è espresso dall'equazione differenziale

${\frac {dN(t)}{dt}}=-\lambda N(t).$

dove λ è un numero detto costante di decadimento. La soluzione di questa equazione è:

$N(t)=N_{0}e^{-\lambda t}.$

dove $N(t)$ è la quantità al tempo $t$, e $N_{0}=N(0)$ è la quantità iniziale, al tempo $t=0$.

In alternativa si può scrivere

$N(t)=N_{0}e^{-t/\tau }$

dove:

$\tau ={\frac {1}{\lambda }}$

è detta costante di tempo ed è il tempo necessario a ridurre la quantità iniziale di circa il 63,21%.

L'equazione che descrive il decadimento esponenziale si può scrivere

${\frac {dN(t)}{N(t)}}=-\lambda \,dt$

integrando si ottiene

$\ln N(t)=-\lambda t+C$

dove C è la costante di integrazione, e quindi

$N(t)=e^{C}e^{-\lambda t}=N_{0}e^{-\lambda t}$

dove la sostituzione finale $N_{0}=e^{C}$ è ottenuta valutando l'equazione al tempo $t=0$. Inoltre λ è l'autovalore dell'operatore differenziale con $N(t)$ la relativa autofunzione. Il decadimento si misura in s⁻¹.

Concetti derivati

Vita media

Dato un insieme di elementi, il cui numero decresce col tempo fino a diventare nullo, la vita media $\tau$ è il valore atteso del tempo che un elemento resta nell'insieme prima di esserne rimosso.

Data la quantità di elementi

$N(t)=N_{0}e^{-\lambda t}$

si ha:

$1=\int _{0}^{\infty }c\cdot N_{0}e^{-\lambda t}\,dt=c\cdot {\frac {N_{0}}{\lambda }}$

con c costante di normalizzazione:

$c={\frac {\lambda }{N_{0}}}$

Si nota che il decadimento esponenziale è un multiplo della distribuzione esponenziale, che ha un valore atteso ben noto. Usando l'integrazione per parti:

$\tau =\langle t\rangle =\int _{0}^{\infty }t\cdot c\cdot N_{0}e^{-\lambda t}\,dt=\int _{0}^{\infty }\lambda te^{-\lambda t}\,dt={\frac {1}{\lambda }}$

Decadimento in più fasi

Una quantità può decadere passando per due o più processi contemporaneamente, che in generale hanno differenti probabilità di verificarsi. Il valore di N è dato dalla somma dei possibili percorsi, e nel caso di due processi:

$-{\frac {dN(t)}{dt}}=N\lambda _{1}+N\lambda _{2}=(\lambda _{1}+\lambda _{2})N.$

La soluzione è data nel paragrafo precedente, dove la somma dei $\lambda _{1}+\lambda _{2}$ è trattata come una nuova costante di decadimento totale $\lambda _{c}$.

$N(t)=N_{0}e^{-(\lambda _{1}+\lambda _{2})t}=N_{0}e^{-(\lambda _{c})t}.$

Dal momento che $\tau =1/\lambda$:

${\frac {1}{\tau _{c}}}=\lambda _{c}=\lambda _{1}+\lambda _{2}={\frac {1}{\tau _{1}}}+{\frac {1}{\tau _{2}}}$

$\tau _{c}={\frac {\tau _{1}\tau _{2}}{\tau _{1}+\tau _{2}}}.\,$

Tempo di dimezzamento

Un parametro caratteristico del decadimento esponenziale è il tempo di dimezzamento, definito come il tempo occorrente per ridurre la quantità del 50%. Esso è legato alla costante di tempo dalla formula:

$t_{1/2}={\frac {\ln 2}{\lambda }}=\tau \ln 2$

La formula si ricava partendo dalla legge del decadimento radioattivo:

$N(t)=N_{0}e^{-\lambda t}$

Definendo $t_{1/2}$ in tempo in cui il numero $N_{0}$ si dimezza, si pone:

$N(t_{1/2})=N_{0}e^{-\lambda t_{1/2}}={\frac {N_{0}}{2}}$

Esplicitando $t_{1/2}$ si ottiene la formula del tempo di dimezzamento.

Nel caso di due processi si ha

$T_{1/2}={\frac {t_{1}t_{2}}{t_{1}+t_{2}}}\,={\frac {\ln 2}{\lambda _{c}}}={\frac {\ln 2}{\lambda _{1}+\lambda _{2}}}$

dove $t_{1}$ è il tempo di dimezzamento del primo processo, e $t_{2}$ del secondo.

Nel caso di tre processi, infine:

$T_{1/2}={\frac {t_{1}t_{2}t_{3}}{(t_{1}t_{2})+(t_{1}t_{3})+(t_{2}t_{3})}}={\frac {\ln 2}{\lambda _{c}}}={\frac {\ln 2}{\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}}}$

Applicazioni nelle scienze naturali

• In un radionuclide che subisce un decadimento radioattivo con cui acquista un differente stato, il numero di atomi nello stato originale segue un decadimento esponenziale.
• Se un oggetto ad una temperatura è immerso in un mezzo a temperatura differente, il calo di temperatura segue un decadimento esponenziale.
• Nei circuiti RC la carica elettrica contenuta in un condensatore carico e posto su una resistenza decade esponenzialmente; in questo caso la costante di tempo è τ = R·C

Voci correlate

• Funzione esponenziale

Collegamenti esterni

• (EN) exponential decay, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Decadimento esponenziale, su MathWorld, Wolfram Research.