Funzione gaussiana

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Funzioni gaussiane per diversi valori medi () e vari valori di .

In matematica, una funzione gaussiana è una funzione della seguente forma:

per qualunque costante reale , e . Il nome di queste funzioni ricorda il grande matematico tedesco Carl Friedrich Gauss.

Le funzioni gaussiane con sono autofunzioni della trasformata di Fourier.

Le funzioni gaussiane si collocano tra le funzioni speciali "elementari" e possono essere introdotte nei primi corsi di analisi; esse mancano però di "integrali elementari", in altre parole, i loro integrali non possono essere espressi mediante composizioni semplici (operazioni razionali e radicali) di funzioni elementari. Tuttavia i loro integrali impropri, dove l'integrazione è fatta su tutta la retta reale, possono essere valutati esattamente:

Questo integrale, detto integrale di Gauss, può essere ottenuto tramite il teorema dei residui dell'analisi complessa, ma può anche calcolarsi con un procedimento analitico semplice.

Dimostrazione:

Ponendo ,

si ha che:

Passiamo a coordinate polari cioè poniamo:

tenendo presente il primo quadrante, e con i valori di (rispettivamente raggio e angolo) compresi tra:

e

Rispolverando il teorema di Pitagora per cui , si può quindi scrivere

da cui:

Notando poi che la funzione gaussiana è una funzione pari, ovvero che vale , è dimostrato che .

Applicazioni[modifica | modifica wikitesto]

Le funzioni gaussiane si incontrano in numerosi capitoli della matematica, della fisica e delle altre discipline quantitative; vediamo alcuni esempi.

L'integrale della funzione gaussiana è la funzione degli errori.

In statistica e in teoria della probabilità, le funzioni gaussiane si presentano come funzioni di densità della distribuzione normale, che è la distribuzione di probabilità limite di somme sufficientemente complicate di funzioni di distribuzione, in accordo con il teorema del limite centrale. La distribuzione normale relativa al valore atteso e alla deviazione standard σ e normalizzata ha la forma

Nello studio delle funzioni speciali la funzione gaussiana gioca il ruolo di funzione peso nella definizione dei polinomi di Hermite come polinomi ortogonali.

Una funzione gaussiana è la funzione d'onda dello stato fondamentale dell'oscillatore armonico quantistico. Di conseguenza, le funzioni gaussiane (e i corrispondenti funzionali) sono anche associati allo stato di vuoto nella teoria quantistica dei campi.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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