Funzione gaussiana

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Funzioni gaussiane per diversi valori medi () e vari valori di .

In matematica, una funzione gaussiana prende il nome dal grande matematico tedesco Carl Friedrich Gauss ed è una funzione della seguente forma:

per qualunque costante reale , e .

Le funzioni gaussiane con sono autofunzioni della trasformata di Fourier.

Integrazione[modifica | modifica wikitesto]

Le funzioni gaussiane si collocano tra le funzioni speciali "elementari" a cui mancano però "integrali elementari" in quanto i loro integrali non possono essere espressi mediante composizioni semplici (operazioni razionali e radicali) di funzioni elementari. Tuttavia i loro integrali impropri, dove l'integrazione è fatta su tutta la retta reale, possono essere valutati esattamente:

Questo integrale, detto integrale di Gauss, può essere ottenuto tramite il teorema dei residui dell'analisi complessa, ma può anche calcolarsi con un procedimento analitico semplice.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Ponendo ,

si ha che:

Passiamo a coordinate polari cioè poniamo:

tenendo presente il primo quadrante, e con i valori di (rispettivamente raggio e angolo) compresi tra:

e

Rispolverando il teorema di Pitagora per cui , si può quindi scrivere:

da cui:

Notando poi che la funzione gaussiana è una funzione pari, ovvero che vale , è dimostrato che .

Applicazioni[modifica | modifica wikitesto]

Le funzioni gaussiane si incontrano in numerosi capitoli della matematica, della fisica e delle altre discipline quantitative; vediamo alcuni esempi.

L'integrale della funzione gaussiana è la funzione degli errori.

In statistica e in teoria della probabilità, le funzioni gaussiane si presentano come funzioni di densità della distribuzione normale, che è la distribuzione di probabilità limite di somme sufficientemente complicate di funzioni di distribuzione, in accordo con il teorema del limite centrale.

La distribuzione normale relativa al valore atteso e alla deviazione standard σ e normalizzata ha la forma:

Si noti che è immediato ricondurre i parametri e ai parametri , e di cui sopra.

Nello studio delle funzioni speciali la funzione gaussiana gioca il ruolo di funzione peso nella definizione dei polinomi di Hermite come polinomi ortogonali.

Una funzione gaussiana è la funzione d'onda dello stato fondamentale dell'oscillatore armonico quantistico. Di conseguenza, le funzioni gaussiane (e i corrispondenti funzionali) sono anche associati allo stato di vuoto nella teoria quantistica dei campi.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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