Q-serie ipergeometrica

In matematica, le q-serie ipergeometriche, chiamate anche serie ipergeometriche basiche, sono generalizzazioni q-analoghe delle serie ipergeometriche ordinarie. Si definiscono comunemente due tipi di q-serie, le q-serie ipergeometriche unilaterali e le q-serie ipergeometriche bilaterali.

La terminologia viene stabilita in analogia con quella delle serie ipergeometriche ordinarie. Una serie ordinaria $\sum _{n}x_{n}$ viene detta serie ipergeometrica (ordinaria) se il rapporto fra termini successivi $x_{n+1}/x_{n}$ è una funzione razionale di n. Se invece il rapporto fra termini successivi è una funzione razionale di $q^{n}$ , la serie corrispondente viene detta q-serie ipergeometrica.

Le q-serie ipergeometriche sono state analizzate per la prima volta da Eduard Heine nel XIX secolo, al fine di individuare caratteristiche comuni alle funzioni teta di Jacobi e alle funzioni ellittiche.

Definizione

Si definisce q-serie ipergeometrica unilaterale in 2 k + 1 parametri e nella variabile z

\;_{k+1}\phi _{k}\left[{\begin{matrix}a_{0},&a_{1},&a_{2},&\ldots ,&a_{k}\\&b_{1},&b_{2},&\ldots ,&b_{k}\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{0},a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k};q)_{n}}{(q,b_{1},b_{2},\ldots ,b_{k};q)_{n}}}z^{n}

dove

(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{m};q)_{n}=(a_{1};q)_{n}(a_{2};q)_{n}\ldots (a_{m};q)_{n}

è il q-fattoriale crescente.

La q-serie ipergeometrica bilaterale in 2 k parametri e nella variabile z viene definita come

\;_{k}\psi _{k}\left[{\begin{matrix}a_{1},&a_{2},&\ldots ,&a_{k}\\b_{1},&b_{2},&\ldots ,&b_{k}\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k};q)_{n}}{(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{k};q)_{n}}}z^{n}

.

Semplici esempi

Alcuni semplici esempi di queste serie includono

{\frac {z}{1-q}}\;_{2}\phi _{1}\left[{\begin{matrix}q,&q\\&q^{2}\end{matrix}}\;;q,z\right]={\frac {z}{1-q}}+{\frac {z^{2}}{1-q^{2}}}+{\frac {z^{3}}{1-q^{3}}}+\ldots

,

{\frac {z}{1-q^{1/2}}}\;_{2}\phi _{1}\left[{\begin{matrix}q,&q^{1/2}\\&q^{3/2}\end{matrix}}\;;q,z\right]={\frac {z}{1-q^{1/2}}}+{\frac {z^{2}}{1-q^{3/2}}}+{\frac {z^{3}}{1-q^{5/2}}}+\ldots

e

\;_{2}\phi _{1}\left[{\begin{matrix}q,&-1\\&-q\end{matrix}}\;;q,z\right]=1+{\frac {2z}{1+q}}+{\frac {2z^{2}}{1+q^{2}}}+{\frac {2z^{3}}{1+q^{3}}}+\ldots

Semplici identità

Tra le identità più semplici segnaliamo

\;_{1}\phi _{0}(a;q,z)=\prod _{n=0}^{\infty }{\frac {1-aq^{n}z}{1-q^{n}z}}

e

\;_{1}\phi _{0}(a;q,z)={\frac {1-az}{1-z}}\;_{1}\phi _{0}(a;q,qz)

Il caso particolare relativo ad $a=0$ è strettamente collegato alla funzione q-esponenziale.

Identità di Ramanujan

Ramanujan ha scoperto l'identità

\;_{1}\psi _{1}\left[{\begin{matrix}a\\b\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(b;q)_{n}}}={\frac {(b/a;q)_{\infty }\;(q;q)_{\infty }\;(q/az;q)_{\infty }\;(az;q)_{\infty }}{(b;q)_{\infty }\;(b/az;q)_{\infty }\;(q/a;q)_{\infty }\;(z;q)_{\infty }}}

valida per $|q|<1$ e $|b/a|<|z|<1$ . Una fondamentale identità simile alla precedente concernente $\,_{6}\psi _{6}$ è stata data da Bailey. Si è capito che tale identità è una generalizzazione del teorema del triplo prodotto di Jacobi, il quale può essere scritto mediante la q-serie come

\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n(n+1)/2}z^{n}=(q;q)_{\infty }\;(-1/z;q)_{\infty }\;(-zq;q)_{\infty }

.

Inoltre questa identità generalizza anche una analoga identità concernente un prodotto quintuplo.

Ken Ono propone una serie formale di potenze collegata

A(z;q)={\frac {1}{1+z}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(z;q)_{n}}{(-zq;q)_{n}}}z^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}z^{2n}q^{n^{2}}.