Q-serie ipergeometrica

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In matematica, le q-serie ipergeometriche, chiamate anche serie ipergeometriche basiche, sono generalizzazioni q-analoghe delle serie ipergeometriche ordinarie. Si definiscono comunemente due tipi di q-serie, le q-serie ipergeometriche unilaterali e le q-serie ipergeometriche bilaterali.

La terminologia viene stabilita in analogia con quella delle serie ipergeometriche ordinarie. Una serie ordinaria viene detta serie ipergeometrica (ordinaria) se il rapporto fra termini successivi è una funzione razionale di n. Se invece il rapporto fra termini successivi è una funzione razionale di , la serie corrispondente viene detta q-serie ipergeometrica.

Le q-serie ipergeometriche sono state analizzate per la prima volta da Eduard Heine nel XIX secolo, al fine di individuare caratteristiche comuni alle funzioni teta di Jacobi e alle funzioni ellittiche.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Si definisce q-serie ipergeometrica unilaterale in 2 k + 1 parametri e nella variabile z

dove

è il q-fattoriale crescente.

La q-serie ipergeometrica bilaterale in 2 k parametri e nella variabile z viene definita come

.

Semplici esempi[modifica | modifica wikitesto]

Alcuni semplici esempi di queste serie includono

,

e

Semplici identità[modifica | modifica wikitesto]

Tra le identità più semplici segnaliamo

e

Il caso particolare relativo ad è strettamente collegato alla funzione q-esponenziale.

Identità di Ramanujan[modifica | modifica wikitesto]

Ramanujan ha scoperto l'identità

valida per e . Una fondamentale identità simile alla precedente concernente è stata data da Bailey. Si è capito che tale identità è una generalizzazione del teorema del triplo prodotto di Jacobi, il quale può essere scritto mediante la q-serie come

.

Inoltre questa identità generalizza anche una analoga identità concernente un prodotto quintuplo.

Ken Ono propone una serie formale di potenze collegata

Q-serie ipergeometrica generalizzata[modifica | modifica wikitesto]

In generale, seguendo Gasper e Rahman, si definisce q-serie ipergeometrica unilaterale secondo Gasper in r + s + 1 parametri e nella variabile z

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]


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