Funzione integrale esponenziale

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Grafico di E1 (sopra) e di Ei (sotto).

In matematica, la funzione integrale esponenziale è una funzione speciale complessa caratterizzata tramite l'integrale definito del rapporto tra la funzione esponenziale e il suo argomento.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

La funzione integrale esponenziale \mbox{Ei}(x) viene definita come:

\mbox{Ei}(x) := -\int_{-x}^{+\infty} \frac{e^{-t}}{t} \mathrm dt = \int_{-\infty}^{x} \frac{e^{t}}{t} \mathrm dt

Dato che 1/t diverge per t \to 0, il precedente integrale si deve intendere come valore principale di Cauchy:

\mbox{Ei}(x) = \lim_{\delta \to 0} \left[ \int_{-\infty}^{\delta} \frac{e^{t}}{t}\mathrm dt + \int_{\delta}^{x} \frac{e^{t}}{t}\mathrm dt \right]

L'algoritmo di Risch mostra che non si tratta di una funzione elementare.

Per valori complessi dell'argomento si utilizza la funzione:

{\rm E}_1(z) = \int_z^{+\infty} \frac{e^{-t}}{t} \mathrm dt \qquad |{\rm Arg}(z)|<\pi

che tramite prolungamento analitico può essere estesa a tutto il piano complesso. L'integrale esponenziale è così anche definito come:

{\rm Ei}(-x) = - {\rm E}_1(x)

Si ha inoltre che per valori positivi di \mathrm{Re}(z):

\mathrm{E}_1(z) = \int_1^{+\infty} \frac{e^{-tz}}{t}\, dt = \int_0^1 \frac{e^{-z/u}}{u}\, du \qquad \mathrm{Re}(z) \ge 0

L'integrale esponenziale è strettamente collegato alla funzione integrale logaritmica, definibile come:

\mbox{li}(x) := \mbox{Ei} (\ln (x))

per tutti gli x reali positivi diversi da 1.

Sviluppo in serie[modifica | modifica wikitesto]

Integrando lo sviluppo di Taylor di e^{-t}/t si può derivare il seguente sviluppo in serie per x \in \R:

\mathrm{Ei}(x) = \gamma+\ln |x| + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{k!k} \qquad x \neq 0

dove \gamma denota la costante di Eulero-Mascheroni. Per argomenti complessi si generalizza con:

\mathrm{E_1}(z) =-\gamma-\ln z-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-z)^k}{k!k} \qquad |\mathrm{Arg}(z)| < \pi
Il grafico di \mathrm{E_1} è delimitato dalle funzioni elementari \frac{1}{2}e^{-x}\,\ln\!\left( 1+\frac{2}{x} \right) (in blu) e e^{-x}\,\ln\!\left( 1+\frac{1}{x} \right) (in rosso) per x reale e positivo.

Tale somma converge per ogni z \in \C. Una serie che converge più velocemente si deve a Ramanujan:

{\rm Ei} (x) = \gamma + \ln x + \exp{(x/2)} \sum_{n=1}^\infty \frac{ (-1)^{n-1} x^n} {n! \, 2^{n-1}} \sum_{k=0}^{\lfloor (n-1)/2 \rfloor} \frac{1}{2k+1}

Esiste anche una serie divergente che approssima l'integrale esponenziale, ottenuta integrando ze^z\mathrm{E_1}(z) per parti:


\mathrm{E_1}(z)=\frac{\exp(-z)}{z}\sum_{n=0}^{N-1} \frac{n!}{(-z)^n}

che ha un errore dell'ordine di O(N!z^{-N}) ed è valida per grandi valori di \mathrm{Re}(z).

Dalle serie precedenti si evince che \mathrm{E_1} si comporta come un esponenziale negativo per grandi valori dell'argomento, e come un logaritmo per valori piccoli. Quando l'argomento è reale e positivo si ha:

\frac{1}{2}e^{-x}\ln\!\left( 1+\frac{2}{x} \right) < \mathrm{E_1}(x) < e^{-x}\ln\!\left( 1+\frac{1}{x} \right)\qquad x>0

come mostrato nel grafico a lato.

Funzione intera[modifica | modifica wikitesto]

Sia \mbox{Ei}(x) che la funzione {\rm E}_1(x) possono essere espresse mediante una funzione intera:

{\rm Ein}(x) = \int_0^x \frac{1-e^{-t}}{t} \mathrm dt 
= \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}x^k}{k\; k!}

Con questa funzione e la funzione logaritmo si possono utilizzare come definizioni le seguenti uguaglianze:

\mathrm{E_1}(z) = -\gamma-\ln z + {\rm Ein}(z)\qquad |\mathrm{Arg}(z)| < \pi
\mathrm{Ei}(x) = \gamma+\ln x - \mathrm{Ein}(-x)\qquad x>0

Generalizzazioni[modifica | modifica wikitesto]

Una generalizzazione della funzione integrale esponenziale è:

{\rm E}_n(x) = \int_1^{+\infty} \frac{e^{-xt}}{t^n}\, dt

che può essere scritto come caso particolare della funzione gamma incompleta:

{\rm E}_n(x) = x^{n-1}\Gamma(1-n,x)

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Milton Abramowitz, Irene A. Stegun eds. (1972): Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, Dover, (Chapter 5)
  • (EN) Carl M. Bender e Steven A. Orszag, Advanced mathematical methods for scientists and engineers, McGraw–Hill, 1978, ISBN 0-07-004452-X.
  • (EN) Norman Bleistein e Richard A. Handelsman, Asymptotic Expansions of Integrals, Dover, 1986, ISBN 0-486-65082-0.
  • (EN) Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 566-568, 1985.
  • (EN) Finch, S. R. "Euler-Gompertz Constant." §6.2 in Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 423-428, 2003.
  • (EN) Harris, F. E. "Spherical Bessel Expansions of Sine, Cosine, and Exponential Integrals." Appl. Numer. Math. 34, 95-98, 2000.
  • (EN) Havil, J. Gamma: Exploring Euler's Constant. Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. 105-106, 2003.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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