Funzione beta di Dirichlet

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In matematica la funzione beta di Dirichlet, nota anche come funzione beta di Catalan, è una funzione speciale strettamente collegata alla funzione zeta di Riemann. È una particolare L-funzione di Dirichlet, la L-funzione per il carattere alternato di periodo quattro.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

La funzione beta di Dirichlet è definita come

o anche

In entrambe le definizioni si assume che Re(s)>0.

È anche possibile definirla in termini della funzione zeta di Hurwitz valida nell'intero piano complesso s:

.

Equazione funzionale[modifica | modifica wikitesto]

L'equazione funzionale estende la funzione beta al lato sinistro del piano complesso, cioè quello con Re(s)<0. È definita come

dove Γ(s) è la funzione Gamma.

Valori speciali[modifica | modifica wikitesto]

Alcuni valori notevoli della funzione beta di Dirichlet sono:

,
,
,

dove K è la costante di Catalan, e

.

Più in generale, per ogni intero positivo k:

,

dove sono i numeri di Eulero. Per interi k ≤ 0, questa si estende in:

.

quindi la funzione si azzera per tutti i valori integrali negativi dispari dell'argomento.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

Matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica