Logaritmo integrale

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Il logaritmo integrale è una funzione matematica molto utile nella teoria analitica dei numeri. Per x \ne 1 esso è definito come:

{\rm li} (x) = \int_0^x \frac{1}{\ln(y)}\,dy.

dove \ln(x) è il logaritmo naturale di x e con l'integrale si intende il valore principale

 {\rm li} (x) = \lim_{\varepsilon \to 0+} \left( \int_0^{1-\varepsilon} \frac{dy}{\ln (y)} + \int_{1+\varepsilon}^x \frac{dy}{\ln (y)} \right). \;

Spesso si usa però la versione

{\rm Li}(x):={\rm li }(x) - {\rm li(2)} = \int_2^x \frac{1}{\ln(y)}\,dy.

che evita la singolarità nel dominio di integrazione.

Teoria dei numeri[modifica | modifica sorgente]

Il logaritmo integrale ha un ruolo molto importante in teoria dei numeri; infatti, il teorema dei numeri primi afferma che

\pi(x)\sim {\rm Li} (x),

dove \pi(x) è la funzione enumerativa dei primi, ovvero la funzione che indica il numero di numeri primi minori di x.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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