Funzione gamma incompleta

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Le funzioni gamma incomplete sono funzioni speciali definite da integrali.

Con le notazione di Abramowitz e Stegun:

dove e la funzione gamma di Eulero.

Con le notazione di Nielsen:

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Relazione con altre funzioni speciali[modifica | modifica wikitesto]

La funzione degli errori è una funzione gamma incompleta:

La funzione integrale esponenziale è una funzione gamma incompleta:

È possibile esprimere la funzione con la funzione ipergeometrica confluente o la funzione di Whittaker:

Le derivate[modifica | modifica wikitesto]

La derivate della funzione superiore e incompleta rispetto alla variabile x è ben nota. Essa è semplicemente data dall'integranda della funzione integrale presente nella sua definizione, ovvero:

La derivata rispetto alla prima variabile invece è data da[1]

mentre la derivate seconda è data da

dove la funzione è un caso speciale della G-funzione di Meijer:

Questo particolare caso speciale ha la proprietà di essere chiuso internamente ovvero può essere usato per esprimere tutte le derivate successive. In generale si ha che

dove è la permutazione definita attraverso il simbolo di Pochhammer, ovvero

Tutte le derivate possono essere ottenute in successione partendo da

e

La funzione T(m,a,x) può essere calcolata usando la sua rappresentazione in serie che risulta essere valida quando , ovvero

Nell'espressione sopra si assume che s sia un intero non negativo o zero e il suo valore richiede il calcolo di un limite. Il caso può essere analizzato usando l'estensione analitica della funzione. Alcuni casi speciali di questa funzione sono

e

dove è la funzione integrale esponenziale. Queste derivate e la funzione T(m,a,x) possono essere utilizzate per fornire soluzioni esatte ad un certo numero di integrali attraverso la derivazione ripetuta della definizione integrale della funzione gamma superiore e incompleta. Per esempio,

Questa formula può essere ulteriormente estesa o generalizzata per una ampia classe di trasformate di Laplace e di Mellin. Quando combinata con un sistema algebrico computerizzato, lo studio delle funzioni speciali fornisce un potente strumento per la soluzione di integrali definiti, in particolare quelli utilizzati nelle applicazioni ingegneristiche[2] (vedere anche integrazione simbolica per maggiori dettagli).

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ K.O Geddes, M.L. Glasser, R.A. Moore e T.C. Scott, Evaluation of Classes of Definite Integrals Involving Elementary Functions via Differentiation of Special Functions, AAECC (Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing), vol. 1, (1990), pp.149-165, [1]
  2. ^ K.O. Geddes e T.C. Scott, Recipes for Classes of Definite Integrals Involving Exponentials and Logarithms, Proceedings of the 1989 Computers and Mathematics conference, (MIT 12 giugno 1989), editado por E. Kaltofen e S.M. Watt, Springer-Verlag, New York, (1989), pp. 192-201. [2]

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

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