Funzione beta di Eulero

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La funzione Beta di Eulero, detta anche integrale di Eulero del primo tipo, è data dall'integrale definito:

dove sia che hanno parte reale positiva e non nulla (in caso contrario, l'integrale divergerebbe). Questa funzione fu studiata per primo da Eulero e da Legendre, ma fu Jacques Binet a battezzarla con il suo nome attuale.

Caratteristiche[modifica | modifica wikitesto]

È una funzione simmetrica, cioè il suo valore non cambia scambiando e :

inoltre valgono anche le due seguenti identità:

La funzione Beta si può scrivere in molti modi, di cui i più comuni sono i seguenti:

dove è la funzione Gamma e è il fattoriale discendente, cioè . In particolare, combinando la prima e la seconda forma si dimostra che .

Così come la funzione gamma descrive i fattoriali dei numeri interi, cioè se l'argomento è un numero intero il suo risultato è il fattoriale di quel numero, la funzione Beta (con un piccolo aggiustamento degli indici) descrive i coefficienti binomiali: più precisamente è

La funzione Beta è stato il primo modello di matrice S nella teoria delle stringhe, congetturato per la prima volta da Gabriele Veneziano.

Relazioni fra la funzione Gamma e la funzione Beta[modifica | modifica wikitesto]

Per ricavare la forma integrale della funzione beta, si può scrivere il prodotto di due fattoriali come:

Ora poniamo , in modo che:

Trasformiamo in coordinate polari con , :

e quindi riscriviamo gli argomento nella forma solita della funzione beta:

Derivata[modifica | modifica wikitesto]

La derivata della funzione beta può essere scritta sfruttando, di nuovo, la funzione gamma:

dove è la funzione digamma.

Integrali[modifica | modifica wikitesto]

L'integrale di Nörlund-Rice è un integrale di circuitazione che coinvolge la funzione beta.

Funzione beta incompleta[modifica | modifica wikitesto]

La funzione beta incompleta è una generalizzazione della funzione beta che sostituisce l'integrale definito della funzione beta con un integrale indefinito. È una generalizzazione del tutto analoga a quella della funzione gamma (la funzione gamma incompleta).

La funzione beta incompleta è definita come:

Per , la funzione beta incompleta ridiventa la normale funzione beta.

La funzione beta incompleta regolarizzata (o più brevemente funzione beta regolarizzata) è definita in termini di entrambe le due:

Calcolando l'integrale per valori interi di e , si ottiene:

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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