Integrale di Gauss

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L'integrale di Gauss è un integrale definito, calcolato per la prima volta da Gauss. È alla base della distribuzione normale (detta pure gaussiana), mattone fondamentale della teoria della probabilità. La funzione integranda, normalizzata affinché l'area dell'integrale da a sia , è detta anche funzione gaussiana.

La forma solitamente usata per l'integrale di Gauss è:

o l'equivalente

una generalizzazione per una generica funzione gaussiana è:

e per una funzione a più variabili, dove è una matrice simmetrica definita positiva (quindi invertibile), si ha:

dove l'integrazione è condotta su .

Calcolo dell'integrale[modifica | modifica wikitesto]

Il valore dell'integrale può essere ottenuto tramite un procedimento analitico semplice.

Sia il valore di questo integrale nell'intervallo che va da a . Allora,

Si noti che si sono usati due simboli diversi, e , per le due variabili di integrazione, in quanto ciascuna di esse è una variabile muta. Equivalentemente si può vedere la cosa come il prodotto di due funzioni simmetriche rispetto alla retta .

Tenendo a mente questa interpretazione, passando ora alle coordinate polari del piano si ha , quindi

Il primo integrale è immediato, per il secondo basta sostituire a e con

Dato che l'esponenziale è sempre positivo, anche lo è, ed estraendo la radice quadrata otteniamo il risultato cercato.

Un altro integrale Gaussiano[modifica | modifica wikitesto]

Vediamo anche come ottenere la formula risolutiva per un integrale del tipo:

Il trucco è di riscrivere il termine all'esponenziale come il termine di un quadrato:

Non abbiamo fatto altro che utilizzare una manipolazione di riscrittura algebrica (facendo i calcoli, tornerà il membro originale all'esponente). Ora basta sostituire e si ha:

Dal momento che il primo membro dell'esponenziale non dipende da , può essere portato fuori, in tal modo:

L'integrale è immediato. Facciamo il cambio di variabile:

da cui :

ottenendo immediatamente:

che è un integrale Gaussiano banale. Il risultato è immediato.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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