Integrale di Gauss

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L'integrale di Gauss è un integrale definito, calcolato per la prima volta da Gauss. È alla base della distribuzione normale (detta pure gaussiana), mattone fondamentale della teoria della probabilità. La funzione integranda, normalizzata affinché l'area dell'integrale da a sia , è detta anche funzione gaussiana.

La forma solitamente usata per l'integrale di Gauss è:

o l'equivalente

Una generalizzazione per una generica funzione gaussiana è:

dove deve essere positivo. Per una funzione a più variabili, dove è una matrice simmetrica definita positiva (quindi invertibile), si ha:

dove l'integrazione è effettuata su .

Calcolo dell'integrale[modifica | modifica wikitesto]

L'integrale indefinito non è esprimibile in termini di funzioni elementari, dunque passare per la primitiva di e calcolare la variazione tra i due estremi per ottenere il valore dell'integrale, è impossibile; tuttavia esistono alcuni metodi che permettono di aggirare il calcolo esplicito della primitiva.

Coordinate polari nel piano:[modifica | modifica wikitesto]

Consideriamo l'integrale:

Consideriamo ora l'integrale:

Osserviamo che, posto , possiamo scrivere: , in virtù di ciò segue:

Essendo l'esponenziale una funzione sempre positiva, sarà sufficiente calcolare il valore dell'integrale doppio esteso ad , che è un integrale generalizzato, e poi estrarre la radice quadrata del risultato.

Calcoliamo dunque:

Dove con

Passando ad un sistema di coordinate polari nel piano:

dunque:

Dunque:

In definitiva:

Un altro integrale Gaussiano[modifica | modifica wikitesto]

Vediamo come ottenere la formula risolutiva per un integrale del tipo:

con Riscriviamo il termine all'esponenziale come il termine di un quadrato:

Sostituendo si ha:

Poiché il primo membro dell'esponenziale non dipende da , può essere portato fuori, in tal modo:

Effettuando il cambio di variabile

da cui :

si ottiene

che è l'integrale Gaussiano già calcolato alla sezione precedente e che dà

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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