Integrale di Eulero

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In matematica esistono due funzioni speciali note come integrali di Eulero:

  1. l'integrale di Eulero del primo tipo: la funzione Beta di Eulero
    \mathrm{\beta}(x,y)= \int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt.
  2. l'integrale di Eulero del secondo tipo: la funzione Gamma di Eulero
    \Gamma(z) = \int_0^\infty  t^{z-1}\,e^{-t}\,dt.

Tramite il teorema di Fubini si dimostra una importante relazione che lega le due funzioni e permette di esprimere la funzione Beta rispetto alla funzione Gamma, mostrando inoltre in maniera immediata la simmetria della Beta:

 \beta (x,y) = \frac{\Gamma(x)\cdot\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}.

La funzione Gamma è una estensione del fattoriale ai numeri reali e ai complessi; per tale motivo le due funzioni assumono una espressione più semplice nel dominio dei numeri naturali (m, n \in \mathbb{N}):

\Gamma(n) = (n-1)!
\mathrm{\beta}(n,m)= {(n-1)!(m-1)! \over (n+m-1)!}={n+m \over nm{n+m \choose n}}.

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