Integrale di Fresnel

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Gli integrali di Fresnel, e , sono due funzioni speciali trascendenti introdotte in ottica dall'ingegnere francese Augustin-Jean Fresnel per studiare i fenomeni della diffrazione.

Grafico degli integrali di Fresnel normalizzati: e .

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Esse sono definite attraverso le seguenti rappresentazioni:

Grafico degli stessi integrali non normalizzati: e .

anche se altri autori preferiscono definirle senza il nell'argomento di seno e coseno.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

  • e sono funzioni dispari.
  • Gli integrali di Fresnel non possono essere calcolati in forma chiusa in termini di funzioni elementari, salvo casi particolari. Infatti essi convergono all'infinito e si ha:

Dimostrazione limite per x tendente all'infinito[modifica | modifica wikitesto]

Poiché gli integrali di Fresnel non possono essere calcolati coi metodi tradizionali, una possibile dimostrazione di

sfrutta l'analisi complessa e il risultato dell'integrale di Gauss . L'integrale di partenza può essere scritto come parte reale di un numero complesso secondo quella che è la forma polare di un numero complesso:

Curva semplice chiusa nel piano complesso, suddivisa in , e .

Per calcolare il secondo integrale si sfrutta il teorema di Cauchy-Goursat scegliendo come cammino chiuso di integrazione la curva chiusa suddivisibile nei tre tratti , e come in figura:

Questa operazione si può fare perché la funzione è analitica in , che è semplicemente connesso.

Nel piano complesso ha equazione , con variabile; per ricondursi all'integrale della gaussiana si impone che l'inclinazione di tale retta sia tale che , ovvero . Il terzo integrale diventa quindi

che per , ovvero , vale

La curva può essere parametrizzata come , questa volta con variabile. Il secondo integrale diventa

Per , e , e vale la disuguaglianza . Ponendo , è possibile fare la seguente maggiorazione:

e dal teorema del confronto, segue che per il secondo integrale vale .

La curva , infine, può essere parametrizzata come . Dal teorema di Cauchy-Goursat

L'integrale di Fresnel cercato diventa perciò

come volevasi dimostrare.

Relazione con altre funzioni speciali[modifica | modifica wikitesto]

dove denota una funzione ipergeometrica confluente.

La relazione con funzione degli errori è:

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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