Teoria del caos

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Fumo di un fiammifero acceso

La teoria del caos è lo studio attraverso modelli della fisica matematica dei sistemi fisici che esibiscono una sensibilità esponenziale rispetto alle condizioni iniziali.[1] I sistemi di questo tipo sono governati da leggi deterministiche, eppure sono in grado di esibire una empirica casualità nell'evoluzione delle variabili dinamiche.[2] Questo comportamento casuale è solo apparente, dato che si manifesta nel momento in cui si confronta l'andamento temporale asintotico di due sistemi con configurazioni iniziali arbitrariamente simili tra loro.[1]

Storia[modifica | modifica wikitesto]

Storicamente la nascita dello studio dei fenomeni caotici si ha con il problema dei tre corpi, un problema di dinamica della fisica matematica applicato alla meccanica celeste, affrontato in primis dai matematici Joseph-Louis Lagrange e Henri Poincaré.

La nascita vera e propria di questa teoria scientifica si verifica però nel 1963, quando Edward Lorenz pubblica il suo articolo Deterministic Nonperiodic Flow, nel quale tratta del comportamento caotico in un sistema semplice e deterministico, con la formazione di un attrattore strano.

Negli anni successivi numerose scoperte in questo ambito fatte da Mitchell J. Feigenbaum, che scoprì l'universalità di alcune costanti a partire da uno studio sull'applicazione logistica, lo portarono ad una teoria sullo sviluppo della turbolenza nei fluidi. Il matematico belga David Ruelle e il fisico olandese Floris Takens furono i pionieri della teoria degli attrattori strani.

Dinamica caotica[modifica | modifica wikitesto]

Nell'uso comune, "caos" significa "uno stato di disordine". Tuttavia, nella teoria del caos, il termine viene definito con maggiore precisione. Anche se non esiste una definizione matematica universalmente accettata di caos, una definizione comunemente utilizzata afferma che un sistema dinamico deve avere le seguenti caratteristiche per essere classificato come caotico:[3]

  1. deve essere sensibile alle condizioni iniziali;
  2. deve esibire la transitività topologica;
  3. deve avere un insieme denso di orbite periodiche.

Dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Effetto farfalla.
Una tromba d'aria in Oklahoma. Il tempo meteorologico è un classico esempio di sistema caotico.

Dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali significa che in un sistema caotico a variazioni infinitesime delle condizioni iniziali corrispondono variazioni significative del comportamento futuro. In altre parole, ogni configurazione di un sistema caotico è arbitrariamente vicina ad un'altra con una traiettoria futura completamente diversa.

La sensibilità alle condizioni iniziali è comunemente nota come "effetto farfalla", effetto così chiamato per via del titolo di una relazione presentata da Edward Lorenz nel 1972 all'Associazione Americana per l'Avanzamento della Scienza a Washington, DC, dal titolo La prevedibilità: Il battere delle ali di una farfalla in Brasile provoca un tornado in Texas?.[4] Il movimento delle ali di una farfalla rappresenta un piccolo cambiamento nella condizione iniziale del sistema, che provoca una catena di eventi che portano a fenomeni di scala sempre più vasta. Se la farfalla non avesse sbattuto le ali, la traiettoria del sistema sarebbe stata molto diversa.

È stato dimostrato che in alcuni casi le ultime due proprietà elencate sopra effettivamente implicano sensibilità alle condizioni iniziali,[5][6] e se l'attenzione è limitata a intervalli, la seconda proprietà implica le altre due[7] (una alternativa, e in generale più debole, definizione di caos utilizza solo le prime due proprietà in lista sopra).[8] È interessante notare che la proprietà con conseguenze pratiche più significative, la sensibilità alle condizioni iniziali, è ridondante nella definizione, poiché implicita da due (o per gli intervalli, una) proprietà puramente topologica, che sono quindi di maggiore interesse per i matematici.

Una conseguenza della sensibilità alle condizioni iniziali è che se si parte con soltanto una quantità limitata di informazioni sullo stato del sistema, come avviene di solito in pratica, allora il futuro del sistema non sarà più prevedibile oltre un certo tempo. Questo è familiare nel caso del meteo, che è in genere prevedibile solo circa una settimana in anticipo.[9] Naturalmente questo non significa che non possiamo dire nulla su eventi lontani nel futuro; ci sono alcune restrizioni sul sistema. Con tempo meteorologico, sappiamo che la temperatura non potrà mai raggiungere i 100 gradi Celsius o scendere a -130 gradi Celsius sulla Terra e che oscilla con le stagioni, ma non siamo in grado di prevedere esattamente in quale giorno avremo la temperatura più calda dell'anno. Una caratteristica peculiare di un sistema caotico, sebbene deterministico, è quindi l'apparente impredicibilità delle traiettorie del sistema, dovuta alla forte sensibilità rispetto alle condizioni iniziali.

In termini più matematici, l'esponente di Lyapunov misura il grado di sensibilità alle condizioni iniziali. Date due traiettorie di partenza nello spazio delle fasi infinitamente vicine con separazione iniziale \delta \mathbf{Z}_0, queste divergono nel futuro al tasso esponenziale di

| \Delta \mathbf{Z} (t) | \approx e ^ {\lambda t} | \delta \mathbf{Z}_0 |

dove t è il tempo e λ è l'esponente di Lyapunov. La velocità di separazione dipende dall'orientamento del vettore separazione iniziale, per cui vi è un intero spettro di esponenti di Lyapunov. Il numero di esponenti di Lyapunov è uguale al numero di dimensioni dello spazio delle fasi, anche se è comune riferirsi solo per il più grande. Per esempio, l'esponente di Lyapunov massimo è più spesso utilizzato perché determina la prevedibilità complessiva del sistema. Un esponente di Lyapunov massimo positivo è generalmente considerato come un'indicazione che il sistema è caotico.

Transitività topologica[modifica | modifica wikitesto]

La mappa definita da x → 4 x (1 – x) e yx + y mod 1 esibisce la transitività topologica. Nella figura una regione blu è trasformata dalla dinamica nella regione viola, poi nelle regioni rosa e rossa, e alla fine in una nube di punti distribuita e sparsa nello spazio.

La transitività topologica è una proprietà che implica che il sistema evolverà nel tempo in modo che ogni data regione o insieme aperto nel suo spazio delle fasi si sovrapporrà con qualsiasi altra regione data. Questo concetto matematico di "mescolamento" corrisponde all'intuizione comune fornita ad esempio dalla dinamica caotica della miscela di due fluidi colorati.

La transitività topologica è spesso omessa dalle presentazioni divulgative della teoria del caos, che definiscono il caos con la sola sensibilità alle condizioni iniziali. Tuttavia, la dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali da sola non dà il caos. Per controesempio, consideriamo il semplice sistema dinamico prodotto da raddoppiare ripetutamente un valore iniziale. Questo sistema ha la dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali ovunque, dal momento che qualsiasi coppia di punti vicini alla fine diventerà ampiamente separata. Tuttavia, questo esempio non ha la transitività topologica e quindi non è caotico. Infatti, ha un comportamento estremamente semplice: tutti i punti tranne 0 tenderanno a infinito positivo o negativo.

Densità delle orbite periodiche[modifica | modifica wikitesto]

Affinché un sistema caotico abbia un insieme denso di orbite periodiche, ogni punto nello spazio deve essere arbitrariamente vicino ad una orbita periodica. La ​​mappa logistica unidimensionale definita da x \rightarrow 4 x (1 - x) è uno dei più semplici sistemi con un insieme denso di orbite periodiche. Ad esempio, \tfrac {5- \sqrt{5}} {8} \rightarrow \tfrac{5+ \sqrt {5}} {8} \rightarrow \tfrac{5- \sqrt{5}} {8} (pari a circa 0.3454915 → 0.9045085 → 0.3454915) è una orbita instabile di periodo di 2, ed esistono orbite simili per periodi di 4, 8, 16, ecc, cioè per tutti i periodi indicati dal teorema di Sharkovsky.[10]

Teorema di Sharkovskii è alla base della dimostrazione di Li e Yorke[11] (1975) che qualsiasi sistema monodimensionale che presenta un ciclo regolare di periodo di tre visualizzerà anche cicli regolari di ogni altra lunghezza nonché orbite completamente caotiche.

Attrattore strano[modifica | modifica wikitesto]

L'attrattore di Lorenz mostra un andamento caotico. Questi due plot dimostrano la sensibile dipendenza dalle condizioni iniziali all'interno di una regione dello spazio delle fasi chiamata attrattore.

Qualche sistema dinamico, come la mappa logistica monodimensionale definita da x → 4 × (1 – x), mostra comportamenti caotici che si estendono in tutto spazio delle configurazioni, tuttavia è possibile che l'andamento caotico sia confinato solo in certe regioni di esso. Il caso di maggior interesse sorge quando un largo insieme delle configurazioni iniziali tende a convergere in una delimitata regione di spazio, l'attrattore, dove avvengono fenomeni caotici.

La regione di spazio delimitata dall'attrattore può avere dimensione intera, ma sorprendentemente questa non è l'unica possibilità. L'attrattore strano è un attrattore con dimensione di Hausdorff non intera[12]. La dimensione degli attrattori è difficile da calcolare analiticamente e spesso viene stimata con simulazioni al computer. Per esempio la dimensione di Hausdorff dell'attrattore generato dalla mappa di Hénon è uguale a 1.26.

Un modo semplice per visualizzare un attrattore caotico consiste nel partire con un punto nel bacino di attrazione dell'attrattore e quindi seguire la conseguente traiettoria. Dato che è valida la condizione di transitività topologica, questo equivale a produrre una immagine dell'intero attrattore finale. Un esempio famoso di questo attrattore è quello di Lorenz, la sua forma somiglia a quella di una farfalla.

Al contrario dei punti fissi, cioè attrattori monodimensionali, e dei cicli limite, con due dimensioni o più, gli attrattori che emergono dai sistemi caotici sono ricchi di dettagli e complessità e somigliano spesso a dei frattali. Strutture frattaliche possono emergere anche considerando la forma e il bordo di un bacino di attrazione di un attrattore, come ad esempio l'insieme di Julia.

Transizione al caos[modifica | modifica wikitesto]

Esistono due tipi principali di transizioni in cui i sistemi dinamici passano da un comportamento regolare ad un comportamento caotico:

  • Transizione al caos per raddoppiamento di periodo (es. Mappa Logistica) nel quale abbiamo una transizione al caos dovuta al raddoppiamento del periodo del ciclo limite che viene creato da una Biforcazione di Hopf iniziale. In questo caso (Feigenbaum 1978) succede che dal punto fisso stabile nasce un'orbita stabile di periodo 2 (ciclo limite). Quando quest'orbita di periodo 2 diventa instabile da essa nasce un'orbita di periodo 4 e così via. La successione dei valori del parametro di controllo del sistema nei quali i diversi cicli limite così creati passano da stabili ad instabili ha punto di accumulazione e tale punto di accumulazione è il punto in cui il sistema transisce al caos.
  • Transizione al caos per intermittenza nel quale si ha che superato il valore critico del parametro del controllo del sistema si ha ancora un comportamento regolare del sistema intervallato però da dei burst caotici. La durata di questi burst caotici aumenta all'aumentare del valore del parametro di controllo del sistema. Di questa transizione esistono 3 sottocategorie: biforcazione a nodo sella, biforcazione di Hopf inversa e period doubling inverso.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Comportamenti caotici si incontrano in meteorologia (attrattore di Lorenz), climatologia, fluidodinamica (turbolenza), teoria del laser, ecologia.

Esempi di modelli matematici di sistemi dinamici:

Applicazioni[modifica | modifica wikitesto]

La teoria del caos si applica in molte discipline scientifiche: matematica, fisica, chimica, biologia, dinamica di popolazione, informatica, geologia, ingegneria, economia, finanza, filosofia, politica, psicologia, e robotica.[13]

La teoria del caos viene attualmente applicata anche allo studio medico dell'epilessia e specificamente alla predizione di attacchi apparentemente casuali attraverso l'osservazione delle condizioni iniziali.[14]

Applicazione nella finanza[modifica | modifica wikitesto]

La teoria del caos è stata anche utilizzata nelle critiche al Capital asset pricing model (CAPM). Il CAPM basa i suoi principi sul modello del mercato efficiente (IME), mentre la Teoria del caos contesta i principi di questo modello e la figura dell'investitore razionale, e soprattutto che il prezzo di un titolo sconti immediatamente tutte le informazioni che pervengono dal titolo stesso.

Secondo i teorici gli investitori non reagiscono alle informazioni man mano che le ricevono, ma hanno memoria dei fatti passati, di quello che è accaduto. I mercati funzionano secondo un'ottica dinamica e non lineare. Viene contestato anche l'indice beta, per le difficoltà che incontra da solo a misurare il rischio di un titolo. Troppi sono i fattori che possono inficiarlo e le diverse modalità di calcolo complicano ancora di più la questione. Viene proposta l'esigenza di avere altri indicatori, come l'indicatore h che distingue una serie casuale da una normale. Se ha valore uguale a 0,5 è casuale, se maggiore sarà di tipo non normale.

La teoria del caos nei media e nella fiction[modifica | modifica wikitesto]

Il termine "teoria del caos" ha colpito parte dell'immaginario collettivo ed è entrata a far parte della cultura pop, insieme all'effetto farfalla. Quest'ultimo (inteso come l'influenza di fatti minimi sul corso degli eventi) era già rappresentato in un racconto di Ray Bradbury, Rumore di tuono, pubblicato nel 1952 e quindi antecedente alla teoria. Questo racconto viene da taluni ritenuto tra i "precursori". Un ulteriore rilevante riferimento letterario è poi il romanzo di James Joyce Finnegans Wake, per la creazione del neologismo caosmosi, concetto poi molto utilizzato nella filosofia contemporanea e estremamente interessante per la sua possibile funzionalizzazione teorica.[senza fonte]

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ a b Ott Edward, Chaos in Dynamical Systems, Cambridge University Press, 2002, pp. 15-19.
  2. ^ chaos theory. URL consultato il 22 gennaio 2012.
  3. ^ Hasselblatt, Boris, Anatole Katok, A First Course in Dynamics: With a Panorama of Recent Developments, Cambridge University Press, 2003, ISBN 0-521-58750-6.
  4. ^ Edward Lorenz, 1972/Lorenz, 21 maggio 2015.
  5. ^ Elaydi, Saber N., Discrete Chaos, Chapman & Hall/CRC, 1999, p. 117, ISBN 1-58488-002-3.
  6. ^ Basener, William F., Topology and its applications, Wiley, 2006, p. 42, ISBN 0-471-68755-3.
  7. ^ Vellekoop, Michel; Berglund, Raoul, On Intervals, Transitivity = Chaos in The American Mathematical Monthly, vol. 101, 4ª ed., April 1994, pp. 353–5, DOI:10.2307/2975629, JSTOR 2975629.
  8. ^ Medio, Alfredo; Lines, Marji, Nonlinear Dynamics: A Primer, Cambridge University Press, 2001, p. 165, ISBN 0-521-55874-3.
  9. ^ Watts, Robert G., Global Warming and the Future of the Earth, Morgan & Claypool, 2007, p. 17.
  10. ^ Alligood, Sauer & Yorke 1997
  11. ^ Li, T.Y., Yorke, J.A., Period Three Implies Chaos (PDF) in American Mathematical Monthly, vol. 82, nº 10, 1975, pp. 985–92, DOI:10.2307/2318254.
  12. ^ Edward Ott, Strange attractors and chaotic motions of dynamical systems, 1981, p. 15. URL consultato il 26 gennaio 2012.
  13. ^ Metaculture.net, metalinks: Applied Chaos, 2007.
  14. ^ Comdig.org, Complexity Digest 199.06

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Badii R., Politi A., Complexity: hierarchical structures and scaling physics, Cambridge University Press, 1997
  • Bergé P., Pomeau Y., Vidal C., L'ordre dans le chaos: vers une approche déterministe de la turbulence, Herrmann, 1984
  • Bertagna A., Il controllo dell'indeterminato. Potëmkin villages e altri nonluoghi, Quodlibet, Macerata 2010
  • Bertuglia C. S., Vaio F., Non linearità, caos, complessità, Torino, Bollati Boringhieri, 2003
  • Bischi G. I., Carini R., Gardini L., Tenti P., Sulle orme del caos. Comportamenti complessi in modelli matematici semplici, Mondadori, 2004
  • Coli M., Ercolani A., Falco G. Modelli di sistemi dinamici ed evoluzione verso il caos. Ingegneria 2000, 2001 ISBN 88-86658-14-1
  • Deleuze, G., Guattari, F., Dal caos al cervello, in Che cos'è la filosofia?, Torino, Einaudi, 1996
  • De Toni A. F., Comello L., Prede o ragni, Torino, Utet Libreria, 2005
  • De Toni A. F., Comello L., Viaggio nella complessità, Venezia, Marsilio Editori, 2007
  • Ekeland Ivar, Il Caos. Milano, il Saggiatore, 1997
  • Smith Leonard, Caos, ed. Codice, 2008
  • Vulpiani Angelo, Determinismo e Caos, Roma, La Nuova Italia Scientifica, 1994
  • Gleick James: Caos. La nascita di una nuova scienza, BUR Biblioteca Univ. Rizzoli 2000
  • (EN) Hao Bai-Lin, Chaos II, an introduction and reprints volume (update of Chaos (1984)), World Scientific Publishing Co., 1990
  • (EN) Heinz Rudolf Pagels, The Dreams of Reason. The Computer and the Rise of the Sciences of Complexity. Bantam Books, New York 1989
  • (EN) Ott Edward, Chaos in Dynamical systems, Cambridge University Press, 1993
  • (EN) Schuster Heinz Georg and Just Wolfram Deterministic Chaos. An Introduction, Wiley-VCH, Berlin, 2005 ISBN 3-527-40415-5

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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