Orbita (matematica)

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In matematica, in particolare in geometria differenziale, un'orbita di un sistema dinamico è una traiettoria percorsa dal sistema nello spazio delle fasi, ovvero una funzione che soddisfa l'equazione che definisce il sistema dinamico stesso.

Se il sistema dinamico è continuo, cioè è determinato da un'equazione differenziale ordinaria autonoma:

\frac{dX}{dt}=F(X(t))

con F : M \subset \R^n \to \R^n un campo vettoriale differenziabile definito nello spazio delle fasi M, un'orbita è una soluzione X(t) dell'equazione. Dal momento che il flusso \Phi_t(x) : M \to M del sistema nel punto x_0 è la soluzione quando x_0 è preso come il punto di inizio dell'evoluzione del sistema, ovvero \Phi_t(x_0) \equiv X(t), si ha che l'orbita passante per x_0 è talvolta scritta come l'insieme:

\{\Phi_t(x_0): -\infty < t < \infty \}

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Orbita periodica di un moto armonico.

Dato un sistema dinamico (T,M,\Phi) dove T è un gruppo, M un insieme e \Phi: U \to M, con U \subset T \times M, si definisce:

I(x):=\{t \in T : (t,x) \in U \}

Allora l'insieme:

\gamma_x:=\{\Phi(t,x) : t \in I(x)\} \subset M

è l'orbita passante per x. Se l'orbita consiste in un solo punto allora si dice orbita costante; ad esempio l'orbita in corrispondenza di un punto di equilibrio.

Un'orbita non costante è detta orbita periodica o orbita chiusa se esiste t \in T tale per cui \Phi(t, x) = x per ogni punto x dell'orbita.

Sistemi dinamici reali[modifica | modifica wikitesto]

Dato un sistema dinamico reale su M con evoluzione \Phi(t,x), sia I(x) \subset \R un intervallo aperto:

I(x) = (t_x^- , t_x^+) \qquad \forall x \in M

La curva:

\gamma_{x}^{+}  \equiv \{\Phi(t,x) : t \in (0,t_x^+)\}

è la semi-orbita positiva passante per x, mentre:

\gamma_{x}^{-}  \equiv \{\Phi(t,x) : t \in (t_x^-,0)\}

è la semi-orbita negativa passante per x.

Sistemi dinamici discreti[modifica | modifica wikitesto]

Si consideri un sistema discreto avente funzione di evoluzione (ricorsiva) \Phi(t,x) : X \to X , con t \in \N il numero di iterazione. Detto x \in X il punto iniziale, l'orbita passante per x è:

\gamma_{x}  \equiv \gamma_{x}^{-} \cup \gamma_{x}^{+}

dove:

 \gamma_{x}^{+} \equiv \{ \Phi(t,x) : t \ge 0 \}

e:

\gamma_{x}^{-}  \equiv \{\Phi(-t,x) : t \ge 0 \}

Sistemi dinamici in due dimensioni[modifica | modifica wikitesto]

Dato un sistema di equazioni differenziali in \R^2 del seguente tipo:

\left\{\begin{matrix}x'=f(x,y) \\
y'=g(x,y)\end{matrix}\right.

La curva descritta nel piano al variare di t da ogni soluzione x = x(t) e y=y(t) del sistema è la traiettoria del sistema. Se il sistema soddisfa le ipotesi del teorema di esistenza e unicità di Cauchy, allora per ogni punto del piano passa un'orbita e una sola del sistema.

Le equazioni del sistema si possono interpretare da un punto di vista cinematico: il sistema descrive il moto di una particella (x,y) la cui velocità (x',y') è data in ogni punto da (f(x,y),g(x,y)). Le orbite del sistema sono le traiettorie chiuse descritte dalla particella e i punti critici sono i punti di equilibrio.

Sistemi dinamici lineari[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Sistema dinamico lineare.

L'andamento qualitativo delle soluzioni del sistema:

\left\{\begin{matrix}x'=ax+by \\
y'=cx+dy\end{matrix}\right.

si ottiene derivando la prima equazione e inserendo al posto di y' la seconda:

x''=ax'+ b(cx + dy)=ax'+ bcx + bdy

Dalla prima equazione si ricava by=x' -ax e sostituendo si ottiene l'equazione lineare:

x''=(a+d)x'+(bc-ad)x

riordinando i termini:

x''-(a+d)x'+(ad-bc)x=0

Si è così dimostrato che se (x(t), y(t)) è una soluzione del sistema lineare allora le funzioni x(t) e y(t) risolvono l'uguaglianza precedente, la cui equazione caratteristica è:

p(\lambda) = \lambda^2 -(a+d)\lambda+(ad-bc)=0

e coincide con il polinomio caratteristico della matrice dei coefficienti del sistema assegnato:

A = \begin{bmatrix}
a & b \\
c & d \\
\end{bmatrix}

ossia:

\det(\lambda\,{\rm I} - A)

Dunque le radici:

\lambda_{1,\,2} = \frac{(a+d)\pm\sqrt{(a-d)^2 + 4bc}}{2}

sono gli autovalori della matrice A.

Il comportamento delle soluzioni del sistema dipende dalla natura degli autovalori, e si distinguono i vari casi:

  • Nodo stabile: \lambda_{1,\,2} < 0
  • Nodo instabile: \lambda_{1,\,2} < 0
  • Sella (instabile): \lambda_1 > 0 e \lambda_1 < 0 oppure \lambda_1 < 0 e \lambda_1 > 0
  • Centro (stabile): \lambda_{1,\,2} = \pm \beta i
  • Fuoco stabile: \lambda_{1,\,2} = \alpha \pm \beta i con \alpha  < 0
  • Fuoco instabile: \lambda_{1,\,2} = \alpha \pm \beta i con \alpha  > 0

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Anatole Katok and Boris Hasselblatt, Introduction to the modern theory of dynamical systems, Cambridge, 1996, ISBN 0-521-57557-5.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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