Spazio di stato

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Lo spazio di stato (o spazio degli stati) è l'insieme di tutte le possibili configurazioni di un sistema.[1] In fisica ci sono diversi tipi di spazi degli stati. In meccanica classica, si usano lo spazio delle configurazioni e lo spazio delle fasi, mentre in meccanica quantistica lo spazio degli stati è rappresentato da uno spazio di Hilbert complesso.

Spazio delle configurazioni[modifica | modifica wikitesto]

Dato un sistema dinamico con gradi di libertà, lo spazio vettoriale generato dalle coordinate generalizzate è detto spazio delle configurazioni, all'interno del quale sono determinate univocamente tutte le posizioni di un sistema. In meccanica razionale, per spazio delle configurazioni si intende solitamente una varietà differenziabile nello spazio delle coordinate generalizzate, detta varietà delle configurazioni.

Spazio delle fasi[modifica | modifica wikitesto]

Si chiama spazio delle fasi, di un sistema con gradi di libertà lo spazio i cui punti rappresentano univocamente tutti e soli i possibili stati del sistema. Dunque esso è la rappresentazione grafica dello spazio di stato e ha dimensione pari a . Generalmente, in meccanica razionale, lo spazio degli stati è una varietà differenziabile, che ha come dimensione due volte il numero di gradi di libertà del sistema, inoltre, esso può essere definito come il fibrato cotangente dello spazio delle configurazioni. Nello spazio delle fasi, l'evoluzione di un sistema dinamico discreto appare come una successione di punti, mentre se il sistema dinamico è continuo può essere rappresentata da una curva continua.

La scelta delle coordinate[2] usate per generare lo spazio delle fasi risulta cruciale nella caratterizzazione del sistema, in particolare di alcune sue grandezze fondamentali, come, ad esempio, l'energia, e delle sue equazioni del moto.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

  • In meccanica lagrangiana lo spazio degli stati è definito come lo spazio delle coordinate lagrangiane, ovvero le coppie , dove le sono le velocità coniugate alle coordinate generalizzate . La funzione che caratterizza la dinamica del sistema è la Lagrangiana:
Le equazioni del moto, ottenute a partire dal principio di minima azione, sono le equazioni di Eulero-Lagrange:
Le equazioni del moto si ricavano riscrivendo le equazioni di Eulero-Lagrange con le nuove coordinate, in forma di equazioni di Hamilton:
  • Le formulazioni lagrangiana e hamiltoniana non sono le uniche possibili: Edward John Routh propose un approccio ibrido tra le due formulazioni tradizionali della meccanica razionale. Dato un sistema meccanico con gradi di libertà, il cui spazio delle configurazioni è generato dalle coordinate generalizzate , dove alle sono associati i rispettivi momenti coniugati , mentre alle vengono associate le rispettive velocità generalizzate .[3][4] Pertanto, lo spazio delle fasi in esame avrà come generatori le coordinate routhiane , le quali permettono la definizione della funzione Routhiana come la trasformata di Legendre della Lagrangiana, in modo del tutto analogo a quanto avviene per l'Hamiltoniana in coordinate hamiltoniane:
Essendo le coordinate routhiane un insieme di coordinate canoniche, consentono alle equazioni di Hamilton di conservare la loro forma, ma, al contempo, per esse valgono anche le equazioni di Eulero-Lagrange:
In generale, l'utilizzo delle coordinate routhiane risulta particolarmente vantaggioso per sistemi dove compaiono coordinate cicliche.

Nella meccanica classica lo spazio delle fasi di solito rappresenta tutte le possibili posizioni, velocità e quantità di moto di ogni punto materiale. Ad esempio, lo spazio degli stati di un pendolo semplice con massa è un cilindro: c'è un grado di libertà per la variabile angolare che individua la posizione e che si muove su un cerchio e un grado di libertà per la velocità e la quantità di moto, che a priori possono variare lungo una retta illimitata.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ State space definition, su mathinsight.org.
  2. ^ Va ricordato che le coordinate generalizzate sono funzione del tempo, pertanto le funzioni dipendenti da esse hanno sempre un dipendenza temporale implicita. Se queste funzioni variano rispetto al tempo indipendentemente dalle coordinate generalizzate, si parla di dipendenza temporale esplicita.
  3. ^ Goldstein, pag. 352.
  4. ^ Landau e Lifšic, pag. 134.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

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