Spazio di stato

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In fisica matematica, in particolare in meccanica razionale e nella teoria dei sistemi dinamici, una rappresentazione in spazio di stato, nota anche come rappresentazione in spazio di fase, è una descrizione di un sistema dinamico in cui si fa particolare riferimento alle variabili di stato del sistema, le quali formano uno spazio vettoriale in cui esso viene rappresentato. La dimensione del suddetto spazio vettoriale è pari al doppio del numero di gradi di libertà del sistema; viceversa, uno spazio vettoriale che abbia dimensione pari al numero di gradi di libertà riuscirà a tener conto soltanto dello stato del sistema in un singolo istante.

Spazio delle configurazioni[modifica | modifica wikitesto]

Dato un sistema dinamico con gradi di libertà, lo spazio vettoriale generato dalle coordinate generalizzate è detto spazio delle configurazioni, all'interno del quale sono determinate univocamente tutte le posizioni di un sistema. In meccanica razionale, per spazio delle configurazioni si intende solitamente una varietà differenziabile nello spazio delle coordinate generalizzate, detta varietà delle configurazioni.

Spazio degli stati o delle fasi[modifica | modifica wikitesto]

Si chiama spazio degli stati, o delle fasi, di un sistema con gradi di libertà lo spazio i cui punti rappresentano univocamente tutti e soli i possibili stati del sistema. Dunque esso è la rappresentazione grafica dello spazio di stato e ha dimensione pari a . Generalmente, in meccanica razionale, lo spazio degli stati è una varietà differenziabile, che ha come dimensione due volte il numero di gradi di libertà del sistema, inoltre, esso può essere definito come il fibrato cotangente dello spazio delle configurazioni. Nello spazio delle fasi, l'evoluzione di un sistema dinamico discreto appare come una successione di punti, mentre se il sistema dinamico è continuo può essere rappresentata da una curva continua.

La scelta delle coordinate[1] usate per generare lo spazio delle fasi risulta cruciale nella caratterizzazione del sistema, in particolare di alcune sue grandezze fondamentali, come, ad esempio, l'energia, e delle sue equazioni del moto.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

  • In meccanica lagrangiana lo spazio degli stati è definito come lo spazio delle coordinate lagrangiane, ovvero le coppie , dove le sono le velocità coniugate alle coordinate generalizzate , infatti il punto indica la derivata rispetto al tempo. La funzione che caratterizza la dinamica del sistema è la Lagrangiana:
Le equazioni del moto, ottenute a partire dal principio di minima azione, sono le equazioni di Eulero-Lagrange:
  • In meccanica hamiltoniana lo spazio delle fasi è definito come lo spazio delle coordinate hamiltoniane, ovvero le coppie , dove i sono i momenti coniugati alle coordinate generalizzate . L'energia totale del sistema è caratterizzata attraverso l'Hamiltoniana, che rappresenta la trasformata di Legendre della Lagrangiana:
Le equazioni del moto si ricavano riscrivendo le equazioni di Eulero-Lagrange con le nuove coordinate, in forma di equazioni di Hamilton:
  • Le formulazioni lagrangiana e hamiltoniana non sono le uniche possibili: Edward John Routh propose un approccio ibrido tra le due formulazioni della meccanica razionale. Dato un sistema meccanico con gradi di libertà, il cui spazio delle configurazioni è generato dalle coordinate generalizzate , dove alle sono associati i rispettivi momenti coniugati , mentre alle vengono associate le rispettive velocità generalizzate .[2][3] Pertanto, lo spazio delle fasi in esame avrà come generatori le coordinate routhiane , le quali permettono la definizione della funzione Routhiana come la trasformata di Legendre della Lagrangiana, in modo del tutto analogo a quanto avviene per l'Hamiltoniana in coordinate hamiltoniane:
Essendo le coordinate routhiane un insieme di coordinate canoniche, consentono alle equazioni di Hamilton di conservare la loro forma, ma, al contempo, per esse valgono anche le equazioni di Eulero-Lagrange:
In generale, l'utilizzo delle coordinate routhiane risulta particolarmente vantaggioso per sistemi dove compaiono coordinate cicliche.

Nella meccanica classica lo spazio delle fasi di solito rappresenta tutte le possibili posizioni, velocità e quantità di moto di ogni punto materiale. Ad esempio, lo spazio degli stati di un pendolo semplice con massa è un cilindro: c'è un grado di libertà per la variabile angolare che individua la posizione e che si muove su un cerchio e un grado di libertà per la velocità e la quantità di moto, che a priori possono variare lungo una retta illimitata.

Sistemi dinamici[modifica | modifica wikitesto]

Un generico sistema dinamico può essere scritto come:

dove sono le variabili di stato e il termine è l'ingresso, che viene omesso nel caso si voglia analizzare la risposta libera del sistema. La prima equazione è detta equazione di stato, mentre la seconda è l'equazione di uscita, dove l'uscita è denotata con . Se è una combinazione lineare degli stati di ingresso, cioè è lineare e finito-dimensionale, l'equazione differenziale che lo definisce viene frequentemente scritta in forma matriciale, e le sue caratteristiche possono essere analizzate dalla funzione di trasferimento.

Affiancando i diversi metodi nel dominio della frequenza (rappresentazione spettrale dei segnali, metodo simbolico) e del tempo, il formalismo fornito dalla rappresentazione di stato è una delle tecniche più diffuse per l'analisi dei sistemi dinamici, specialmente di quelli lineari.

Nei circuiti elettrici, ad esempio, il numero di variabili di stato è spesso pensato essere lo stesso del numero di elementi in grado di immagazzinare energia, come ad esempio condensatori e induttori.

Sistemi dinamici lineari[modifica | modifica wikitesto]

Magnifying glass icon mgx2.svgLo stesso argomento in dettaglio: Sistema dinamico lineare.

Nei sistemi lineari stazionari il minimo numero di variabili di stato è uguale al grado del denominatore della funzione di trasferimento dopo che questa sia stata ridotta ad essere una frazione propria. In particolare, per il teorema fondamentale dell'algebra il denominatore ha un numero di zeri pari al suo grado (i poli della frazione). I poli della funzione di trasferimento sono generalmente utilizzati per analizzare la stabilità del sistema.[4]

Una generica rappresentazione nel dominio del tempo di un sistema dinamico lineare con ingressi e uscite e variabili di stato viene scritta nella seguente forma:[5]

dove è il vettore di stato, è il vettore di uscita mentre è il vettore di ingresso.

La matrice è la "matrice dinamica", con , la matrice è la "matrice di ingresso", con , la matrice è la "matrice di uscita", con , e è la "matrice di legame diretto ingresso-uscita" (nei casi in cui il sistema non abbia tale legame, è una matrice nulla), con .

La variabile temporale può essere continua (cioè ) o "discreta" (), e in tal caso è spesso indicata con . La rappresentazione in spazio di stato può quindi assumere anche le forme:

  • Discreto tempo variante:

Funzione di trasferimento[modifica | modifica wikitesto]

La funzione di trasferimento di un sistema continuo LTI può essere ricavata calcolando la trasformata di Laplace di:

che è:

Risolvendo rispetto a :

da cui:

Sostituendo nell'equazione di uscita si ottiene:

Dal momento che la funzione di trasferimento è definita come il rapporto tra l'uscita e l'ingresso del sistema, si ha:

e sostituendo la precedente espressione di , considerando il sistema a condizioni iniziali nulle ():

La matrice ha dimensione per . Quindi per ogni ingresso ci sono dunque funzioni di trasferimento, ovvero una per ogni uscita.

Stabilità[modifica | modifica wikitesto]

Magnifying glass icon mgx2.svgLo stesso argomento in dettaglio: Teoria della stabilità.

Studiare la stabilità e le caratteristiche della risposta di un sistema lineare continuo tempo-invariante, cioè lineare con matrici che sono costanti nel tempo, a partire dagli autovalori della matrice è equivalente ad analizzare, nel dominio della frequenza, la sua funzione di trasferimento. Questa può essere come una frazione e apparire, ad esempio, nella forma:

Il denominatore della funzione è uguale al polinomio caratteristico trovato calcolando il determinante della matrice :

Le radici del polinomio caratteristico corrispondono agli autovalori di , e sono i poli della frazione, le singolarità dove il modulo della funzione di trasferimento è illimitato. I poli possono essere ad esempio utilizzati per vedere se il sistema è internamente o esternamente stabile.

La stabilità esterna (stabilità BIBO) consiste nella limitatezza dell'uscita se l'ingresso è limitato. Questo accade se i poli instabili sono cancellati dagli zeri durante il calcolo della funzione di trasferimento, cioè le sue singolarità sono rimovibili.

Gli zeri del numeratore di , invece, possono essere similmente utilizzati per determinare se il sistema è o meno a fase minima.

Controllabilità[modifica | modifica wikitesto]

Magnifying glass icon mgx2.svgLo stesso argomento in dettaglio: Controllabilità, Controllo automatico e Ingegneria del controllo.

La controllabilità di un sistema implica la possibilità, attraverso l'uso di un ingresso ammissibile, di portarne lo stato in qualsiasi valore finale, a partire da qualsiasi valore iniziale, ed entro un tempo finito. La controllabilità di un sistema a tempo continuo LTI può essere verificata tramite la condizione di raggiungibilità, visto che in tali condizioni le due proprietà corrispondono[6]:

dove il rango di una matrice è il numero massimo di righe o colonne di una matrice linearmente indipendenti.

Osservabilità[modifica | modifica wikitesto]

Magnifying glass icon mgx2.svgLo stesso argomento in dettaglio: Osservabilità e Osservatore dello stato.

L'osservabilità quantifica in che misura è possibile ricavare lo stato del sistema a partire dalla sua uscita. L'osservabilità e la controllabilità di un sistema sono matematicamente duali,[7] la seconda ci dice che da un qualsiasi stato iniziale si va in un qualsiasi stato finale e la prima che dalla conoscenza dell'uscita si può risalire allo stato iniziale del sistema.

Un sistema continuo, e in questo caso anche discreto,[8] LTI è osservabile se e solo se

Retroazione[modifica | modifica wikitesto]

Magnifying glass icon mgx2.svgLo stesso argomento in dettaglio: Retroazione.

Un metodo comune per descrivere la retroazione, in inglese feedback, è moltiplicare l'uscita del sistema per una matrice e porre in ingresso al sistema:

Se il valore di è negativo si ha una retroazione negativa.

Il sistema:

diventa:

risolvendo l'equazione di uscita per e inserendo nell'equazione di stato si ha:

Il vantaggio di questo approccio è che gli autovalori di possono essere controllati settando appropriatamente attraverso la decomposizione di . Questo è possibile se il sistema in open-loop è controllabile o se tutti gli autovalori di possono essere resi stabili.

Una semplificazione comune di questo sistema assume nulla e uguale all'identità. In questo modo l'equazione si riduce a:

Retroazione con segnale di riferimento in ingresso[modifica | modifica wikitesto]

Se alla retroazione viene sommato un segnale aggiuntivo:

il sistema:

diventa:

risolvendo l'equazione di uscita per e sostituendoci l'equazione dello stato si ha:

Una semplificazione comune è la rimozione del termine , che riduce le equazioni a:

Sistemi causali[modifica | modifica wikitesto]

Descrizione nello spazio delle fasi del moto caotico di un pendolo sotto l'influenza di una forza esterna.

Un sistema causale è descritto da una funzione di trasferimento propria, cioè il grado del numeratore è minore o uguale al grado del denominatore, e stabile. Viene detta strettamente propria se il grado del numeratore è minore al grado del denominatore, e può essere rappresentata come frazione complessa:

.

Risulta spesso possibile scrivere il sistema nella forma:

.

detta forma canonica di controllore perché per il sistema risultante è garantita la controllabilità.

La scrittura (duale):

.

è invece chiamata forma canonica di osservatore.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Va ricordato che le coordinate generalizzate sono funzione del tempo, pertanto le funzioni dipendenti da esse hanno sempre un dipendenza temporale implicita. Se queste funzioni variano rispetto al tempo indipendentemente dalle coordinate generalizzate, si parla di dipendenza temporale esplicita.
  2. ^ Goldstein, pag. 352.
  3. ^ Landau e Lifšic, pag. 134.
  4. ^ Grasselli, Menini e Galeani, capitolo 4.7 pag. 249.
  5. ^ Grasselli, Menini e Galeani, capitolo 2 pag. 31.
  6. ^ Grasselli, Menini e Galeani, capitolo 5 pag. 272.
  7. ^ Grasselli, Menini e Galeani,  capitolo 6 pag. 364.
  8. ^ Grasselli, Menini e Galeani, capitolo 6 pag. 341.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • E. Fornasini, G. Marchesini Appunti di teoria dei sistemi, Ed progetto Padova, 2013
  • O. M. Grasselli, L. Menini e S. Galeani, Sistemi dinamici - Introduzione all'analisi e primi strumenti di controllo, 2008.
  • (EN) H. Goldstein, Classical Mechanics, 2ª, San Francisco, CA, Addison Wesley, 1980, pp. 352–353, ISBN 0201029189.
  • (EN) L. D. Landau e E. M. Lifšic, Mechanics, 3ª, Butterworth Heinemann, p. 134, ISBN 9780750628969.
  • (EN) Antsaklis, P.J. and Michel, A. N. 2007. A Linear Systems Primer, Birkhauser. ISBN 978-0-8176-4661-5.
  • (EN) Chen, Chi-Tsong 1999. Linear System Theory and Design, 3rd. ed., Oxford University Press. ISBN 0-19-511777-8.
  • (EN) Khalil, Hassan K. 2001 Nonlinear Systems, 3rd. ed., Prentice Hall. ISBN 0-13-067389-7.
  • (EN) Nise, Norman S. 2004. Control Systems Engineering, 4th ed., John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-44577-0.
  • (EN) Hinrichsen, Diederich and Pritchard, Anthony J. 2005. Mathematical Systems Theory I, Modelling, State Space Analysis, Stability and Robustness. Springer. ISBN 3-540-44125-5.
  • (EN) Sontag, Eduardo D. 1999. Mathematical Control Theory: Deterministic Finite Dimensional Systems. Second Edition. Springer. ISBN 0-387-98489-5 (available free online).
  • (EN) Friedland, Bernard. 2005. Control System Design: An Introduction to State Space Methods. Dover. ISBN 0-486-44278-0.
  • (EN) Zadeh, Lofti A. and Desoer, Charles A. 1979. Linear System Theory, Krieger Pub Co. ISBN 978-0-88275-809-1.
  • (EN) Durbin, J. and S. Koopman (2001). Time series analysis by state space methods. Oxford University Press, Oxford.
  • (EN) Gerald Sussman, Structure and interpretation of classical mechanics, Cambridge, Mass, MIT Press, 2001, ISBN 0-262-19455-4.

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]