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Meccanica hamiltoniana

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In fisica e matematica, in particolare nella meccanica razionale e nell'analisi dei sistemi dinamici, la meccanica hamiltoniana è una riformulazione della meccanica classica introdotta nel 1833 da William Rowan Hamilton a partire dalla meccanica lagrangiana, descritta inizialmente da Joseph-Louis Lagrange nel 1788.

La dinamica di un sistema fisico è caratterizzata dal fatto che il moto di un corpo tende a rendere stazionaria (a variazione nulla) una quantità astratta detta azione, un funzionale definito come l'integrale nel tempo della lagrangiana. Solitamente questo corrisponde a minimizzare l'energia del sistema dinamico considerato, che è la somma dell'energia potenziale più l'energia cinetica.

La meccanica hamiltoniana fa corrispondere all'energia una funzione scalare detta hamiltoniana, e le equazioni del moto di Eulero-Lagrange, che erano alla base della descrizione di Lagrange, vengono ora riscritte nello spazio delle fasi (grazie cioè ad una diversa scelta delle coordinate) nella forma di equazioni di Hamilton per l'hamiltoniana. Le trasformazioni che lasciano inalterata la forma delle equazioni di Hamilton sono inoltre dette trasformazioni canoniche, e sono alla base della descrizione di molti fenomeni naturali; è una tecnica utilizzata ad esempio dalla teoria delle perturbazioni.

La meccanica hamiltoniana introduce un formalismo che sta alla base della meccanica quantistica e della meccanica statistica, consentendo di formulare in maniera agevole la compatibilità tra probabilità e dinamica (si veda il teorema di Liouville).

Dalla meccanica lagrangiana alla meccanica hamiltoniana[modifica | modifica wikitesto]

Nella descrizione lagrangiana un punto materiale in moto viene identificato dalle sue coordinate generalizzate e nelle corrispondenti velocità generalizzate , dove il punto denota la derivata totale temporale. Si tratta delle coordinate nello "spazio degli stati" del sistema dinamico costituito dal punto in moto:

In coordinate cartesiane, se il moto è senza vincoli tale scrittura coincide con l'equazione di Newton:

con e , dove la forza e la massa del punto.

L'equazione del moto nello spazio degli stati sono le equazioni di Eulero-Lagrange:

dove è la lagrangiana, differenza tra l'energia cinetica e potenziale .

L'approccio seguito dalla meccanica hamiltoniana si basa sull'utilizzo di un diverso sistema di coordinate, dette coordinate canoniche, in cui alle coordinate generalizzate (spazio delle configurazioni) vengono affiancate, anziché le velocità generalizzate , i momenti coniugati . Il momento coniugato alla coordinata di un corpo in moto è la derivata parziale:

ovvero:

Lo spazio delle coppie è lo spazio delle fasi. In coordinate cartesiane la definizione di momento coniugato, che è valida per un più generico sistema di coordinate, è equivalente (per un punto materiale di massa ) alla quantità di moto:

Nelle nuove coordinate le equazioni di Eulero-Lagrange assumono la forma compatta:

ovvero:

Hamiltoniana ed equazioni di Hamilton[modifica | modifica wikitesto]

La trasformata di Legendre della lagrangiana, nelle coordinate canoniche , è l'hamiltoniana:

Nel caso particolarmente importante di sistema dinamico con vincoli indipendenti dal tempo, l'hamiltoniana coincide con l'energia totale del sistema, ed è pertanto la somma tra l'energia cinetica e potenziale:

con l'energia cinetica espressa in generale da:

Analizzare l'evoluzione temporale del sistema a partire da coinvolge le equazioni di Hamilton:[1][2][3]

una riscrittura delle equazioni di Eulero-Lagrange. A partire da esse vengono quindi scritte le equazioni del moto nel modello hamiltoniano. Le equazioni di Hamilton sono simmetriche rispetto a e (scambiare con le lascia invariate).

In meccanica quantistica la funzione l'hamiltoniana è particolarmente importante ed è chiamata operatore hamiltoniano, al quale si fa corrispondere l'osservabile energia (ad esempio l'energia di particelle subatomiche o sistemi di particelle).

Sistema dinamico hamiltoniano[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Campo vettoriale hamiltoniano.

La meccanica hamiltoniana, interessandosi di oggetti in moto, rientra nell'ambito dell'analisi dei sistemi dinamici, con la quale condivide il formalismo matematico. Le equazioni di Hamilton hanno del resto la forma caratteristica di un sistema dinamico continuo:

con un campo vettoriale nello spazio delle fasi, anche nel caso in cui le coordinate non sono ortogonali ma sono ad esempio polari o cilindriche. Al campo è associata l'hamiltoniana , ovvero:

dove:

è una matrice simplettica detta matrice simplettica standard e è il gradiente:

Il campo così definito è il campo vettoriale hamiltoniano, ed è solenoidale (). L'importanza della scelta delle coordinate , invece che quelle lagrangiane , è legata al fatto che - per come sono definite - le coordinate canoniche si comportano in un certo senso come coordinate cartesiane ortogonali. Difatti, per una arbitraria scelta delle (ad esempio, polari o cilindriche), utilizzando i momenti coniugati il sistema dinamico ha ancora la forma . Ciò consente alle equazioni di Hamilton di avere una struttura particolarmente simmetrica.

Costanti del moto[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Integrale primo e Teorema di Noether.

Un integrale primo del moto per un sistema dinamico con hamiltoniana è una quantità definita sullo spazio delle fasi il cui valore rimane costante:

lungo le soluzioni dell'equazione del moto del sistema. Si ricava con brevi manipolazioni matematiche che la derivata totale ha la particolare forma:

dove:

è il campo vettoriale hamiltoniano definito sopra.

Utilizzando la parentesi di Poisson di con l'hamiltoniana la precedente si può scrivere in modo esplicito come:

ovvero:

Nello specifico, se non dipende dal tempo allora se e solo se è un integrale primo del moto.

Derivazione delle equazioni di Hamilton[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Equazioni di Hamilton.

Le equazioni di Hamilton si possono ricavare considerando il differenziale della lagrangiana:

Sostituendo :

che, sfruttando la relazione , si può riscrivere come:

Riorganizzando i termini:

Il membro di sinistra è l'hamiltoniana, quindi si ha:

Scrivendo allora il differenziale di direttamente rispetto al tempo (come fatto per ):

Dal momento che le ultime due relazioni devono essere uguali si ha, uguagliando i termini:

dove la seconda relazione è una delle due equazioni di Hamilton; l'altra equazione di Hamilton si ricava dalla prima relazione sfruttando le equazioni di Eulero-Lagrange:

in modo che diventi:

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Fitzpatrick, R., 2.7 Poincaré invariants (PDF), pp. 26-27.
  2. ^ L.N. Hand, J.D. Finch, Analytical Mechanics, Cambridge University Press, 2008, ISBN 978-0-521-57572-0
  3. ^ Roger Penrose, The Road to Reality, Vintage books, 2007, ISBN 0-679-77631-1

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]