Campo vettoriale solenoidale

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Nel calcolo vettoriale un campo vettoriale continuo in un insieme aperto si definisce solenoidale se il flusso attraverso una qualsiasi superficie chiusa è nullo:

Equivalentemente si può affermare che il campo vettoriale è solenoidale se il flusso di attraverso una qualsiasi superficie dipende solo dal bordo della superficie.

Il nome deriva dal fatto che i solenoidi sono delle bobine di fili arrotolate che quando vengono percorse da corrente creano un campo magnetico solenoidale; nel caso della fluidodinamica il movimento di un fluido in un anello chiuso genera un campo solenoidale.

Spesso si definisce erroneamente solenoidale un campo vettoriale la cui divergenza sia uguale a zero in tutto il dominio. In questo caso si dovrebbe dire piuttosto che il campo è indivergente. Si dimostra che se un campo vettoriale di classe in un aperto è solenoidale allora è anche indivergente ma non sussiste l'implicazione inversa. Infatti basta pensare al campo elettrico generato da una carica puntiforme posta nell'origine del sistema di assi coordinati: il campo è indivergente in tutto il suo dominio (che è ) ma il suo flusso attraverso una qualsiasi superficie chiusa contenente la carica, per il teorema di Gauss, è uguale a . Affinché un campo indivergente sia solenoidale si deve aggiungere l'ipotesi che il dominio in cui esso è definito sia a connessione superficiale semplice.

Una proprietà del campo vettoriale solenoidale è quella di avere le linee di campo chiuse. Inoltre, poiché la divergenza del campo è nulla, è possibile definire un potenziale vettore , il cui rotore sia appunto il campo. In formule

L'operazione è permessa dal fatto che la divergenza di un rotore è sempre nulla.

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