Campo irrotazionale

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In analisi matematica e nel calcolo vettoriale un campo vettoriale si dice campo irrotazionale se il suo rotore è nullo:

Ricordando che il rotore può essere espresso come:

dove il determinante è formale (cioè sviluppabile con il teorema di Laplace) solo secondo la prima riga, la prima equazione può essere sviluppata come:

Il rotore di un campo vettoriale nel piano è dato da

pertanto il campo è irrotazionale se

Un campo vettoriale che ha la proprietà di essere irrotazionale non è necessariamente conservativo. Infatti la condizione di irrotazionalità è una condizione necessaria ma non sufficiente per la conservatività: bisogna tenere conto anche dell'insieme ove il campo è definito tramite il lemma di Poincaré. Tuttavia un campo irrotazionale definito in un aperto di o di localmente è sempre conservativo perché si può sempre scegliere un intorno abbastanza piccolo da far parte dell'insieme in cui il campo sia conservativo. Questo è vero perché la irrotazionalità, come la conservatività, sono proprietà differenziali e quindi si tratta di vedere per quale approssimazione vale la differenziazione del campo.

Jacobiana[modifica | modifica wikitesto]

Un'altra condizione di irrotazionalità è data dalla costruzione della jacobiana del campo vettoriale:

allora la condizione espressa tramite l'irrotazionalità del campo o la definizione qui data di rotore, significa che la jacobiana del campo vettoriale deve essere simmetrica.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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