Rotore (matematica)

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Nel calcolo differenziale vettoriale, il rotore di un campo vettoriale tridimensionale è un operatore vettoriale che ne descrive la rotazione infinitesima, associando a ogni punto dello spazio un vettore. Si tratta di un vettore allineato con l'asse di rotazione; il suo verso è coerente con quello della rotazione secondo la regola della mano destra e la sua lunghezza è il valore della circuitazione del campo (la sua integrazione lungo un percorso chiuso) per unità di area, cioè nel limite in cui la curva di integrazione si riduce ad un punto.

Ad esempio, se come campo vettoriale si considera la velocità delle particelle che compongono un qualche fluido, il rotore del campo vettoriale è la densità di circolazione del fluido. I campi vettoriali che hanno rotore uguale a zero sul proprio dominio sono chiamati irrotazionali.

Il rotore, indicato con , misura la massima componente rotazionale piana nello sviluppo di Taylor di un campo vettoriale al primo ordine, ovvero nella linearizzazione del campo in 3 dimensioni. Pertanto, si tratta di un tipo di derivazione di un campo vettoriale. La relativa integrazione avviene tramite il teorema del rotore, caso particolare del teorema di Stokes, che mette in relazione l'integrale di superficie del rotore del campo vettoriale con l'integrale di linea del campo vettoriale lungo la frontiera di .

A differenza di gradiente e divergenza, generalizzare il rotore a spazi non euclidei non è possibile. Esistono alcune generalizzazioni, ma solo in spazi euclidei (anche a più di tre dimensioni) la definizione geometrica di rotore di un campo vettoriale fornisce un altro campo vettoriale. Da questo punto di vista, il rotore ha proprietà simili a quelle del prodotto vettoriale.

Interpretazione intuitiva[modifica | modifica wikitesto]

Supponiamo che un campo vettoriale (tridimensionale) descriva la velocità di un fluido (non perfetto). Immaginando di fissare il centro di una piccola sfera in un punto, se questa sferetta ha una superficie ruvida allora incomincerà a ruotare su sé stessa, mossa dallo scorrere del fluido. Il rotore valutato nel centro della sfera è un vettore che ha come direzione l'asse di rotazione della sfera e come lunghezza la metà del valore assoluto del momento angolare della sfera. Inoltre, il senso di rotazione è associato al vettore in accordo con la regola della mano destra.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Sotto l'ipotesi che un campo vettoriale sia di classe [1], il rotore di è definito in ogni punto attraverso la sua proiezione su un versore di posto nel punto: si tratta del valore dell'integrale di linea del campo in un piano ortogonale a nel limite in cui la curva di integrazione si riduca a un punto, cioè nel limite in cui l'area delimitata da tenda ad annullarsi, diviso per l'area :

Si tratta di una scrittura del teorema del rotore, e si può interpretare il prodotto scalare tra e il vettore unitario come densità superficiale di circuitazione del campo attorno alla direzione .

In uno spazio con metrica euclidea, in un sistema di riferimento con coordinate curvilinee ortogonali , come le coordinate cartesiane, sferiche, cilindriche, ellittiche o paraboliche, il rotore non può essere scritto in forma tensoriale[2]; la terza componente del rotore di è data da:

dove se, ad esempio, sono le coordinate cartesiane, si ha:

Le restanti due componenti del rotore (la prima e la seconda, nell'ordine) si ottengono dalla permutazione ciclica degli indici: 3,1,2 → 1,2,3 → 2,3,1.

Più in generale, in uno spazio non euclideo, per un campo tensoriale (di rango 1) il rotore è dato[3], di nuovo, da una relazione di tipo non tensoriale[4]:

dove si è usata la notazione di Einstein e denota il simbolo di Levi-Civita (che è semplicemente un tensore cartesiano) e denota la derivata covariante. Utilizzando invece la derivata esterna:

dove e sono isomorfismi musicali e è il duale di Hodge.

Quest'ultima formulazione è valida in un sistema di coordinate generico, e consente di estendere il rotore a varietà riemanniane orientate. Dato che dipende dall'orientazione della varietà, il rotore è un operatore chirale: se cambia l'orientazione cambia anche il verso del rotore.

Coordinate cartesiane[modifica | modifica wikitesto]

In coordinate cartesiane, detti , , e i versori degli assi, il rotore di un campo vettoriale è il campo vettoriale definito da:

dove nella seconda uguaglianza si è esplicitata l'equazione matriciale, mentre nella prima la scrittura indica il determinante formale della matrice; riallacciandosi alle espressioni valide in uno spazio euclideo richiamate più sopra, si ottiene il caso più semplice (quello con: ):

Coordinate cilindriche[modifica | modifica wikitesto]

Se si prende invece, nello spazio euclideo, un sistema di riferimento in coordinate cilindriche , il rotore di è dato da:

Rotore come derivata esterna[modifica | modifica wikitesto]

Magnifying glass icon mgx2.svgLo stesso argomento in dettaglio: Derivata esterna.

A un campo vettoriale nello spazio possiamo associare una corrispondente 1-forma differenziale

allora la sua derivata esterna risulta essere la 2-forma

Identità vettoriali[modifica | modifica wikitesto]

In coordinate cartesiane si mostra che è uguale a:

e se si invertono il campo vettoriale e :

dove significa che il gradiente agisce solo su .

Sempre in coordinate cartesiane, è dato da:

dove è il laplaciano vettoriale di . Questa relazione può essere vista come un caso particolare della precedente sostituendo v → ∇.

Il rotore del gradiente di ogni campo scalare è nullo:

, nel qual caso se il campo scalare , come anche il campo vettoriale irrotazionale , sono definiti in un insieme semplicemente connesso come definito dal lemma di Poincaré, allora è il potenziale scalare del campo vettoriale conservativo .

mentre se è una funzione scalare e un campo vettoriale:

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

Si consideri il seguente campo vettoriale, che è tangente alle circonferenze concentriche all'asse e la cui intensità aumenta linearmente con la distanza da esso; in coordinate cartesiane:

mentre in coordinate cilindriche (più comode in questo caso viste le simmetrie del campo):

Una sua rappresentazione nel piano cartesiano (a meno di un fattore di riduzione di scala) è:

Uniform curl.svg

Da una semplice ispezione visiva si può solo notare che il campo "sta ruotando", ma notando inoltre che la sua intensità aumenta con la distanza dall'asse ci si può aspettare che esso sia capace, localmente, di fare ruotare una pallina posta in ogni suo punto, secondo la regola della mano destra (il verso del rotore è entrante nella pagina: usando un sistema di coordinate cartesiane standard, ciò corrisponde alla direzione delle z negative). La prova analitica viene calcolando il rotore; in coordinate cartesiane:

mentre in coordinate cilindriche:

In questo caso il rotore è uguale in tutto lo spazio, indipendentemente dal punto che si considera, e quindi l'entità della rotazione nel campo vettoriale considerato è la stessa ovunque. La sua semplice rappresentazione nello spazio cartesiano è pertanto:

Curl of uniform curl.JPG

Equazioni di Maxwell[modifica | modifica wikitesto]

Nella terza equazione di Maxwell, espressione locale della legge di Faraday-Neumann-Lenz, il rotore del campo elettrico è uguale e opposto al tasso di variazione della densità di flusso magnetico:

In un dominio in cui si può approssimare che valgano condizioni stazionarie, ossia i che campi non varino nel tempo, si ottiene l'irrotazionalità del campo elettrico, e, se questo dominio è semplicemente connesso come definito dal lemma di Poincaré, la sua conservatività, da cui l'esistenza di un potenziale elettrostatico scalare :

Inoltre, nella quarta equazione, espressione locale della legge di Ampère-Maxwell, il rotore del campo magnetico è:

che in condizioni statiche diventa[5]:

Si veda l'esempio qui sotto.

Campo magnetico generato da un filo percorso da corrente continua[modifica | modifica wikitesto]

Si consideri, in coordinate cartesiane, il campo vettoriale:

Tale campo (statico) non è definito sui punti dell'asse (per cui l'insieme in cui è definito non è semplicemente connesso), ed è ottenuto moltiplicando il campo dell'esempio precedente per l'inverso del quadrato della distanza dall'asse (di conseguenza la sua intensità diminuisce linearmente con la distanza dal filo). A meno di una costante moltiplicativa, tale espressione coincide con quella della componente magnetica del campo elettromagnetico generato da un filo infinito (coincidente con l'asse ) percorso da una corrente continua (esempi di campo magnetico). Tale campo è irrotazionale nell'insieme di definizione (lì il suo rotore è nullo):

(questo risultato si poteva intuire notando che, diversamente dall'esempio precedente, l'intensità del campo tangente alle circonferenze diminuisce e non aumenta linearmente con la distanza dal filo, portando all'incapacità, nella circuitazione locale, di fare ruotare una pallina posta in un suo punto). Si tratta di un campo non conservativo (in particolare solenoidale) per via della topologia dell'insieme di definizione: lungo qualsiasi circuitazione che non racchiuda l'asse esso è nullo, mentre non è nullo se la circuitazione racchiude tale asse, nel qual caso il lavoro del campo dipende dal cammino percorso (per via del momento angolare impresso all'immaginaria sferetta).

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Da un punto di vista fisico, la derivabilità del campo vettoriale implica che l'operatore rotore viene usato nella fisica non-quantistica, ossia in fisica classica (relatività compresa)
  2. ^ Kay, D. C. Theory and problems of tensor calculus, McGraw-Hill Book Company, p. 158, 1988
  3. ^ (EN) Eric W. Weisstein, Curl, in MathWorld, Wolfram Research.
  4. ^ Si può notare, a latere, che la terza e la quarta equazione di Maxwell che contengono i rotori non sottendono una relazione tensoriale (l'espressione tensoriale delle equazioni di Maxwell ha bisogno del tensore del campo elettromagnetico che ha rango due; essa riduce le equazioni da quattro a due, "fondendo" le equazioni con il rotore con quelle con la divergenza)
  5. ^ La rotazionalità del campo magnetico anche in condizioni statiche dovuto alla densità (locale) di corrente elettrica, mostra, in particolare, come la componente magnetica solenoidale di tipo "rotazionale" del campo elettromagnetico sia dovuta al movimento delle cariche elettriche rispetto all'osservatore e quindi sia spiegabile attraverso la teoria della relatività ristretta (passando per la forza di Lorentz)

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Arfken, George B. and Hans J. Weber. Mathematical Methods For Physicists, Academic Press; 6 edition (June 21, 2005). ISBN 978-0-12-059876-2.
  • (EN) Korn, Granino Arthur and Theresa M. Korn, Mathematical Handbook for Scientists and Engineers: Definitions, Theorems, and Formulas for Reference and Review, New York, Dover Publications, pp. 157–160, ISBN 0-486-41147-8.
  • (EN) Kaplan, W. "The Curl of a Vector Field." §3.5 in Advanced Calculus, 4th ed. Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 186–187, 1991.
  • (EN) Morse, P. M. and Feshbach, H. "Curl." In Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, pp. 39–42, 1953.
  • (EN) Schey, H. M. Div, Grad, Curl, and All That: An Informal Text on Vector Calculus, 3rd ed. New York: W. W. Norton, 1997.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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