Derivata totale

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Nel calcolo differenziale, la derivata totale di una funzione di più variabili è la derivata della funzione che tiene conto della dipendenza reciproca delle variabili stesse. In altri termini, la derivata totale di una funzione rispetto ad una delle variabili prende in considerazione la dipendenza delle altre variabili dalla variabile rispetto alla quale si deriva.

Ad esempio, la derivata totale di rispetto a è:

dove vi è la semplificazione:

e se

la funzione di partenza si poteva scrivere in maniera più precisa come .

Moltiplicando per , si ottiene il differenziale di :

Si tratta di una forma differenziale esatta.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Si consideri una funzione dipendente da e da n variabili che a loro volta dipendono da . La derivata totale di rispetto a è:

Più formalmente, siano un sottoinsieme aperto di e funzioni definite nell'intervallo . Data una funzione , se:

si può definire una funzione data da:

ed è possibile mostrare che se le tutte le funzioni sono derivabili nel punto e se è differenziabile nel punto allora è derivabile in e si ha:

Ponendo e:

l'ultima espressione diviene:

Applicazione in fisica[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Derivata materiale.

In fisica, in particolare in meccanica del continuo, nell'equazione di Boltzmann e nelle equazioni di Maxwell, si utilizzano spesso le coordinate lagrangiane: si è interessati a conoscere la derivata totale temporale di una grandezza fisica associata ad un elemento di fluido in movimento (particella fluida), che occupa un punto dello spazio non fisso all'istante . Tale punto corrisponde alla posizione della particella e le sue coordinate sono funzioni del tempo. Considerando quindi una funzione , il suo differenziale è:

La derivata totale di rispetto al tempo vale:

dove è la velocità della particella.

Se si descrive il moto del fluido con un campo vettoriale , che associa ad ogni punto la velocità della particella che occupa quel punto al tempo , indicando con le sole componenti spaziali del gradiente, la precedente espressione diviene:

e viene detta derivata materiale del campo scalare . La derivata parziale è il termine di sorgente, e tiene conto della non stazionarietà del campo di moto del flusso che sussiste quando le varie grandezze sono tutte funzioni esplicite del tempo. Se il moto è stazionario allora e le varie grandezze non dipendono esplicitamente dal tempo. Il prodotto scalare è il termine convettivo, e tiene conto della variazione di una grandezza per una particella che è trasportata attraverso un gradiente di velocità. La particella sarà sottoposta ad una variazione di grandezza solo se il prodotto scalare non sarà nullo, ossia solo se la velocità della particella non sarà perpendicolare alla direzione del gradiente della grandezza.

Più in generale, se invece del campo scalare si ha un campo vettoriale , la sua derivata materiale è:

dove è la derivata covariante di .

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]