Derivata totale

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Nel calcolo differenziale, la derivata per una funzione di più variabili che tiene conto della dipendenza reciproca delle variabili stesse si dice ordinaria, o talvolta in contesti tecnici totale. In altri termini, la derivata totale di una funzione rispetto ad una delle variabili prende in considerazione la dipendenza delle altre variabili dalla variabile rispetto alla quale si deriva.

Ad esempio, la derivata totale di rispetto a è:

Ogni derivata totale è in corrispondenza biunivoca con una 1-forma differenziale esatta:

dove , , e sono i differenziali.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Sia un intervallo, aperto, curva di classe e una funzione anch'essa di classe .

Si definisce derivata totale di rispetto a la funzione:

Si può osservare che

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

Siano un sottoinsieme aperto di un intervallo e , con . Data una funzione , si può definire una funzione data da:

ed è possibile mostrare che se le tutte le funzioni sono derivabili nel punto e se è differenziabile nel punto allora è derivabile in e si ha:

pertanto l'ultima espressione diviene:

Esempio: meccanica del continuo[modifica | modifica wikitesto]

Magnifying glass icon mgx2.svgLo stesso argomento in dettaglio: Derivata materiale.

In fisica, in particolare in meccanica del continuo, nell'equazione di Boltzmann e nelle equazioni di Maxwell, si utilizzano spesso le coordinate lagrangiane: si è interessati a conoscere la derivata totale temporale di una grandezza fisica associata ad un elemento di fluido in movimento (particella fluida), che occupa un punto dello spazio non fisso all'istante . Tale punto corrisponde alla posizione della particella e le sue coordinate sono funzioni del tempo. Considerando quindi una funzione , il suo differenziale è:

La derivata totale di rispetto al tempo vale:

dove è la velocità della particella.

Se si descrive il moto del fluido con un campo vettoriale , che associa ad ogni punto la velocità della particella che occupa quel punto al tempo , indicando con le sole componenti spaziali del gradiente, la precedente espressione diviene:

e viene detta derivata materiale del campo scalare . La derivata parziale è il termine di sorgente, e tiene conto della non stazionarietà del campo di moto del flusso che sussiste quando le varie grandezze sono tutte funzioni esplicite del tempo. Se il moto è stazionario allora e le varie grandezze non dipendono esplicitamente dal tempo. Il prodotto scalare è il termine convettivo, e tiene conto della variazione di una grandezza per una particella che è trasportata attraverso un gradiente di velocità. La particella sarà sottoposta ad una variazione di grandezza solo se il prodotto scalare non sarà nullo, ossia solo se la velocità della particella non sarà perpendicolare alla direzione del gradiente della grandezza.

Più in generale, se invece del campo scalare si ha un campo vettoriale , la sua derivata materiale è:

dove è la derivata covariante di .

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]