Derivata materiale

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In meccanica del continuo, la derivata materiale, anche detta derivata convettiva, derivata sostanziale o derivata lagrangiana, descrive il tasso di variazione di una qualche quantità fisica associata ad un elemento di materia soggetto ad un campo vettoriale dipendente da spazio e tempo. Si tratta di una forma di derivazione simile alla derivata totale, e talvolta ne prende il nome. Ad esempio, il campo vettoriale può essere la velocità delle particelle di un fluido (velocità di flusso), e la quantità fisica considerata la sua temperatura.

La derivata materiale può essere vista come un collegamento tra la descrizioni euleriana e lagrangiana di una deformazione continua, e viene utilizzata spesso in fluidodinamica.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Questo tipo di derivazione descrive il trasporto di una quantità scalare o vettoriale con una velocità di deriva . La derivata materiale di un campo scalare è definita come:

dove è il gradiente di , e la derivata parziale è detta derivata euleriana (derivata del campo rispetto al tempo in una posizione fissata).

La derivata materiale di un campo vettoriale è data da:

dove è la derivata covariante di .

Il termine "derivata convettiva" è utilizzato sia per indicare la derivata materiale o , sia per indicare la derivazione o delle sole componenti spaziali.

L'effetto dei termini indipendenti dal tempo è detto talvolta avvezione per il caso scalare e convezione per il caso vettoriale.

La derivata totale rispetto a è invece espressa attraverso la regola della catena:

Il vettore:

descrive la velocità di un oggetto lungo un determinato cammino nello spazio. se:

solo in questo caso la derivata totale coincide con la definizione di derivata materiale data sopra. Se inoltre (cioè la posizione è costante) la derivata totale temporale diventa la derivata parziale temporale nella posizione (stazionaria) .

Coordinate ortogonali[modifica | modifica wikitesto]

In un sistema di coordinate ortogonali, la componente j-esima della convezione è data da:[1]

in cui:

con il tensore metrico.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Eric W. Weisstein, Convective Operator, MathWorld. URL consultato il 22 luglio 2008.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) G.K. Batchelor, An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge University Press, 1967, pp. 72–73, ISBN 0-521-66396-2.
  • (EN) K. E. Trenberth, Climate System Modeling, Cambridge University Press, 1993, p. 99, ISBN 0-521-43231-6.
  • (EN) G. Emanuel, Analytical fluid dynamics, second, CRC Press, 2001, pp. 6–7, ISBN 0-8493-9114-8.
  • (EN) G.J. Sussman, J. Wisdom e M.E. Mayer, 1.6 How to Find Lagrangians, in Structure and Interpretation of Classical Mechanics, MIT Press.
  • (EN) Ira M. Cohen e Pijush K Kundu, Fluid Mechanics, 4ª ed., Academic Press, ISBN 978-0-12-373735-9.
  • (EN) Michael Lai, Erhard Krempl e David Ruben, Introduction to Continuum Mechanics, 4ª ed., Elsevier, ISBN 978-0-7506-8560-3.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]