Equazioni di Hamilton

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In fisica, in particolare nella riformulazione della meccanica classica sviluppata dalla meccanica hamiltoniana, le equazioni di Hamilton sono l'equazione del moto per un sistema fisico, scritta a partire dalla funzione che ne descrive l'energia totale, chiamata hamiltoniana. Determinano l'evoluzione temporale del sistema dinamico in modo equivalente alla legge di Newton e alle equazioni di Eulero-Lagrange, di cui sono una riscrittura ottenuta in seguito ad un particolare cambio di variabili.

Le equazioni[modifica | modifica wikitesto]

L'hamiltoniana di un sistema dinamico è una funzione definita nello spazio delle fasi composto dalle coordinate generalizzate e dai rispettivi momenti coniugati:

dove è la lagrangiana. L'hamiltoniana viene solitamente associata all'energia totale del sistema, somma dell'energia cinetica e dell'energia potenziale. In alcuni casi, per esempio quando agiscono forze non conservative, è necessario fare uso dei cosiddetti potenziali generalizzati e l'hamiltoniana perde il significato fisico di energia totale del sistema.

Le equazioni di Hamilton sono un sistema di equazioni differenziali che forniscono l'evoluzione temporale del sistema:[1][2]

ovvero:

Le equazioni di Hamilton sono simmetriche rispetto a e , e pertanto scambiare con e con le lascia invariate.

Derivazione[modifica | modifica wikitesto]

Dato un sistema che ha n gradi di libertà descritto da una lagrangiana , l'equazione di Newton per il suo moto è equivalente alle equazioni di Eulero-Lagrange:

Si può formulare lo stesso problema prendendo come variabili indipendenti le coordinate generalizzate ed i momenti generalizzati , definiti da . In tale contesto, la trasformata di Legendre della Lagrangiana produce la funzione hamiltoniana:

In una dimensione la trasformata si ottiene scrivendo il differenziale di :

da cui:

La lagrangiana viene così trasformata in un'altra equazione dipendente esplicitamente dalla sua derivata rispetto a , cioè da .

Dato il differenziale di :

confrontandolo con la precedente espressione della trasformata di Legendre:

si ottengono le equazioni di Hamilton:

Se una coordinata è una coordinata ciclica per la lagrangiana, ovvero è una coordinata da cui la lagrangiana non dipende direttamente, allora essa è ciclica anche per l'Hamiltoniana. In particolare se lagrangiana non dipende esplicitamente dal tempo allora stessa è una costante del moto:

Principio variazionale di Hamilton[modifica | modifica wikitesto]

Magnifying glass icon mgx2.svg Lo stesso argomento in dettaglio: Principio variazionale di Hamilton.

Le equazioni di Hamilton si possono ricavare dal principio variazionale di Hamilton (principio di minima azione):

dove l'integrale della lagrangiana nel tempo è l'azione:

Il principio stabilisce che il moto del sistema tra gli istanti iniziale e finale deve rendere stazionario l'integrale variazionale azione tra e , il che significa che l'azione ha un estremo in corrispondenza della traiettoria seguita dal sistema, tra tutte quelle possibili nell'intervallo di tempo considerato.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Analytical Mechanics, L.N. Hand, J.D. Finch, Cambridge University Press, 2008, ISBN 978-0-521-57572-0
  2. ^ The Road to Reality, Roger Penrose, Vintage books, 2007, ISBN 0-679-77631-1

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

Meccanica Portale Meccanica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di Meccanica