Trasformata di Legendre

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Si consideri una funzione , disegnata in rosso, e la retta tangente alla funzione nel punto , in blu. La retta tangente, con pendenza , interseca l'asse verticale in , con il valore della trasformata di Legendre .

In matematica, la trasformata di Legendre o trasformazione di Legendre, il cui nome è dovuto a Adrien-Marie Legendre, è un procedimento che trasforma una funzione convessa a valori reali di variabile reale in un'altra funzione convessa dipendente esplicitamente dalla derivata della funzione di partenza.

La trasformata di Legendre è un'involuzione, ovvero è una funzione che è l'inversa di se stessa.[1]

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

La trasformata di Legendre di una funzione convessa reale è data da:

Nel caso sia differenziabile la trasformata può essere vista come il valore cambiato di segno dell'intercetta sull'asse di una particolare retta tangente alla funzione, quella di pendenza .[2] Per calcolare l'estremante di rispetto a , che è la massima distanza tra la funzione e la retta , si pone la derivata nulla:

sicché il valore massimo si verifica quando:

Nel caso si ha:

e il vettore coincide con il gradiente:

Scrivendo in funzione di e inserendolo nella derivata si ottiene una definizione operativa:

dove nella relazione a destra si è esplicitata la dipendenza della trasformata da . La trasformata di Legendre trasforma in un'altra funzione dipendente esplicitamente dalla derivata invece che da .[3]

Funzione generatrice[modifica | modifica wikitesto]

Un modo di scrivere esplicitamente si ottiene differenziando la funzione :

Introducendo la funzione ausiliaria si ha:

essendo . Si ha pertanto:

La funzione ausiliaria si chiama generatrice.

In generale, si dimostra che se e allora , dove è la soluzione di . Questo risultato consente di mostrare che la trasformata di Legendre applicata a una funzione convessa produce un'altra funzione convessa.

Definizione alternativa[modifica | modifica wikitesto]

La trasformata di Legendre di può anche essere definita come la trasformazione tale per cui la sua derivata prima e la derivata della funzione sono una la funzione inversa dell'altra. Detto l'operatore di derivazione:

Infatti, derivando rispetto a si ha:

Pertanto, valgono le relazioni:

dove le funzioni e sono univocamente determinate a meno di una costante additiva, solitamente fissata con l'ulteriore condizione:

Funzioni di più variabili[modifica | modifica wikitesto]

Si consideri il cui differenziale sia dato da:

Per costruire una funzione che dipenda da e (invece che e ) si definisce . Differenziando:

da cui:

La funzione è il risultato della trasformazione di Legendre di in cui la variabile indipendente è stata rimpiazzata da .

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

Ad esempio, nel caso in cui si ottiene che:

e quindi:

Con procedimento formale, invece, servendosi della generatrice in questo caso si ha:

e semplificando:

da cui:

Trasformazione in una dimensione[modifica | modifica wikitesto]

In una dimensione la trasformazione di Legendre di può essere valutata con la formula:

Per mostrare ciò si considera la definizione:

Integrando entrambi i membri da a , utilizzando il teorema fondamentale del calcolo integrale nel membro a sinistra e sostituendo nel termine a destra:

si ha:

con:

Integrando per parti:

e quindi:

Dal momento che il termine a sinistra dipende solo da e quello di destra solo da :

Risolvendo per e scegliendo si ottiene la relazione iniziale.

Hamiltoniana[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Meccanica hamiltoniana ed Equazioni di Hamilton.

In analisi funzionale l'hamiltoniana è data dalla trasformata di Legendre della lagrangiana del sistema , con:

Nel caso di sistemi a un grado di libertà (un'unica coordinata lagrangiana), e ricordando le equazioni di Eulero-Lagrange, il differenziale di si scrive:

da cui:

Si è trasformata in questo modo la lagrangiana in un'altra equazione dipendente esplicitamente dalla sua derivata rispetto a , cioè dipendente da:

Se si pone , sapendo che il differenziale di , dipendente da e , è:

uguagliando i membri si ottengono le equazioni di Hamilton:

dove e sono le sue variabili canoniche hamiltoniane. Si procede analogamente nel caso di n coordinate lagrangiane.

Funzioni termodinamiche[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Funzione di stato.

Per il primo principio della termodinamica si ha:

e per la definizione di entropia, in condizioni quasistatiche reversibili:

Sostituendo:

Assumendo come variabili libere (o naturali) e , cioè esprimendo ogni altra funzione di stato in funzione di queste due (sufficienti a descrivere lo stato del sistema), si procede nel differenziare :

da cui:

Usando il teorema di Schwartz si ricava la seguente relazione, detta equazione di Maxwell:

Ora si può operare delle trasformate (non standard) di Legendre sull'energia interna per ottenere altre funzioni termodinamiche e altre utili relazioni sulle varie grandezze di volta in volta derivate o tenute costanti. I calcoli sono assolutamente analoghi agli esempi precedenti a patto di cambiare di volta in volta le variabili libere del sistema.

Riassumendo si ha:

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ V. I. Arnol'd, Pag. 63
  2. ^ V. I. Arnol'd, Pag. 62
  3. ^ V. I. Arnol'd, Pag. 61

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Vladimir Igorevich Arnol'd, Mathematical Methods of Classical Mechanics, 2nd Edition, Springer, 1989, ISBN 0-387-96890-3.
  • Corrado Mencuccini, Vittorio Silvestrini, Fisica I - Meccanica e Termodinamica, 3rd Edition, Napoli, Liguori Editore, 1996, ISBN 88-207-1493-0.
  • (EN) R. Tyrrell Rockafellar, Convex Analysis, paperback republication of 1970, Princeton University Press, 1996, ISBN 0-691-01586-4.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]