Sistema dinamico

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In fisica e matematica, in particolare nella teoria dei sistemi dinamici, un sistema dinamico è un modello matematico che rappresenta un oggetto (sistema) con un numero finito di gradi di libertà che evolve nel tempo secondo una legge ben definita. Un sistema dinamico viene identificato da un vettore detto "stato" del sistema, le cui componenti sono l'insieme dei valori delle grandezze fisiche che caratterizzano la sua condizione o situazione in un qualsiasi istante temporale. Ad esempio, in meccanica classica lo stato di punto materiale in moto viene definito dal vettore (x,v), con x la posizione e v = dx / dt la velocità. Lo spazio a cui appartiene il vettore di stato è lo spazio delle fasi.

Lo studio dei sistemi dinamici rappresenta uno dei più antichi e importanti settori della matematica e della fisica; può coinvolgere sistemi meccanici (specialmente sistemi hamiltoniani), elettrici o termodinamici, così come svariati ambiti dell'ingegneria, come l'automatica e l'ingegneria dei sistemi. Inoltre, già Henri Poincaré aveva osservato alla fine del diciannovesimo secolo il comportamento irregolare di alcuni sistemi dinamici studiando il problema dei tre corpi: negli anni '50 del secolo successivo, in seguito agli esperimenti numerici del meteorologo Edward Lorenz, che studiando l'atmosfera terrestre rivelò la dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali, i risultati di Poincaré cominciarono ad interessare la comunità dei fisici. Questi fenomeni sono studiati dalla teoria del caos: il comportamento caotico dei sistemi dinamici, la cui controparte matematica può raggiungere gradi di complessità che rendono vincolante l'utilizzo del calcolatore, è stato riscontrato in molti altri ambiti tra cui la biologia o la finanza, e ha suscitato un grande interesse nella comunità scientifica nella seconda metà del '900.

Si possono identificare due tipologie di sistema dinamico:

  • Se l'evoluzione avviene ad intervalli discreti di tempo il sistema viene chiamato sistema dinamico discreto
  • Se l'evoluzione è continua e definita da un'equazione differenziale, il sistema viene chiamato sistema dinamico continuo.

Di particolare importanza sono i sistemi dinamici lineari, tra i quali i lineari tempo-invarianti (sistemi LTI) vengono ampiamente utilizzati nella teoria dei segnali e nella teoria del controllo.

Una delle caratteristiche dei sistemi dinamici che viene studiata più spesso è la stabilità. Per esempio, è comune studiare la stabilità in termini di limitatezza delle uscite nei confronti di un ingresso limitato (stabilità esterna), oppure in termini di allontanamento da uno stato di equilibrio (stabilità interna).

Per analizzare matematicamente il comportamento di un sistema dinamico si utilizzano soprattutto due tipologie di descrizione, la rappresentazione in spazio di stato e il formalismo del dominio della frequenza (si veda la funzione di trasferimento nel caso di sistemi stazionari).

Introduzione[modifica | modifica wikitesto]

In meccanica classica un esempio elementare di sistema dinamico è fornito da un punto che si muove nello spazio. Il punto viene completamente caratterizzato dalla sua posizione r(t) (un vettore dipendente da t \in \R) e dalla sua velocità v(t) = \dot r(t) = dr / dt. Lo stato di tale sistema è il vettore (r(t),v(t)) \in \R^n, dove \R^n è lo spazio delle fasi utilizzato. Lo spazio delle fasi viene anche detto spazio delle configurazioni per il fatto che i suoi elementi rappresentano tutti gli stati possibili che il sistema può assumere. L'evoluzione temporale del punto è quindi data dalle due derivate:

\dot r(t) = v(t) \qquad \dot v(t) = a

dove a è l'accelerazione del punto (che dipende dalla somma delle forze a cui è soggetto). Definendo:

x(t) =(r(t),v(t))

il moto del punto può essere scritto con l'equazione ordinaria autonoma:

\dot x(t) = f(x(t))

Scegliendo un punto e una velocità iniziali x_0 = (r_0,v_0), ovvero ponendo x(t=0) \equiv x_0, si ottiene l'evoluzione del sistema a partire da x_0 (problema di cauchy per l'equazione differenziale).

Tutti i sistemi dinamici a tempo continuo vengono scritti in modo analogo, eventualmente con f che dipende esplicitamente dal tempo:

\dot x(t) = f(x(t),t) \qquad x \in \R^n

dove f : \R^n \times \R \to \R^n è una funzione almeno differenziabile. Tale sistema può essere ricondotto a quello autonomo (f : \R^n \to \R^n ) con un cambio di variabili.

La soluzione (x_0,t) al variare di t è la traiettoria (orbita) seguita dal sistema nello spazio delle fasi a partire da x_0. Nell'impostare formalmente lo studio di un sistema dinamico si fa in modo che la funzione f sia sufficientemente regolare da fornire una soluzione unica (teorema di esistenza e unicità), in accordo con il fatto che l'evoluzione del sistema a partire da un punto dato è unica.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

In generale, un sistema dinamico (T,M,\Phi) è definito da un gruppo (o un semigruppo) T, che è l'insieme dei valori del parametro tempo t, e un insieme M, detto lo spazio delle fasi o spazio degli stati. La funzione di evoluzione temporale (flusso) \Phi\colon U \subset T \times M \to M determina l'azione di T su M. Nella teoria ergodica M è uno spazio misurabile con misura di probabilità \mu e \Phi è una funzione misurabile che preserva \mu, mentre nella cosiddetta topologia dinamica M è uno spazio topologico completo e \Phi è una funzione continua (spesso anche invertibile).[1]

Nello specifico, per ogni t si può definire \Phi tale che:

\Phi(0,x) = x
\Phi(t_1,x) \circ \Phi (t_2,x) = \Phi(t_2,\Phi(t_1,x)) = \Phi(t_1 + t_2, x) \qquad  t_1, t_2, t_1 + t_2 \in I(x)

dove:

 I(x) = \{ t \in T : (t,x) \in U \}

Ciò rispecchia il fatto che la legge di evoluzione \Phi del sistema non cambia essa stessa nel tempo. Le funzioni \Phi(t,x) parametrizzate da t, con la legge di composizione \Phi(t_1,x) \circ \Phi (t_2,x), formano un gruppo commutativo ad un parametro. Frequentemente nel caso discreto T coincide con \Z, mentre nel caso continuo T coincide con \R.[2]

Il grafico di \Phi è la traiettoria del sistema nel tempo e l'insieme:

\gamma_{x_0}:=\{\Phi(t,x_0) : t \in I(x_0)\}

è l'orbita passante per x_0 (ovvero l'immagine del flusso in x_0).

Un sottoinsieme S \subset M è detto \Phi-invariante se:

\Phi(t,x) \in S \qquad \forall x \in S \quad \forall t \in T

In particolare, affinché S sia invariante si deve verificare I(x)=T per tutti gli x \in S, ovvero il flusso lungo x deve essere definito per tutti i punti di S ad ogni tempo.

Sistemi continui[modifica | modifica wikitesto]

Data una varietà S, sia v : S \to S un campo vettoriale differenziabile, cioè che associa ad ogni punto z \in S un vettore le cui coordinate sono legate alle coordinate di z (definite in un suo intorno rispetto a qualche base) tramite una funzione differenziabile. Un sistema dinamico è definito dall'equazione autonoma (l'equazione del moto per sistemi meccanici):

v(z) = \frac{dz}{dt}

Trattandosi di un'equazione differenziale ordinaria, il relativo teorema di esistenza e unicità della soluzione stabilisce che preso un punto iniziale z_0 esiste un intervallo -a \le t \le b, con a,b > 0, in cui il sistema dinamico ha una soluzione unica z(t)=\phi_t(z_0).

Se la soluzione (traiettoria) esiste per tutti i tempi e per qualsiasi scelta del punto iniziale z_0 si ha che il tempo può scorrere nel verso contrario, ovvero è possibile predire il passato conoscendo uno stato del sistema nel futuro. In particolare, si verifica che \phi^{-1}_t =\phi_{-t} e l'insieme delle \phi_t forma un gruppo continuo ad un parametro di diffeomorfismi su S.

La struttura matematica che viene assegnata allo spazio delle fasi M dipende comunque dal contesto; solitamente è uno spazio topologico, in cui ha senso parlare di continuità nell'evoluzione temporale dello stato. Uno spazio topologico in cui è possibile l'utilizzo di strumenti metrici e differenziali è ad esempio la varietà differenziabile, una delle strutture più utilizzate in quanto risulta particolarmente adatta per modellare i sistemi fisici. Per i sistemi nei quali allo stato viene associata una nozione di misura, ad esempio una probabilità, si utilizza uno spazio misurabile. Si richiede inoltre che il flusso \Phi sia compatibile con la struttura di M: nel caso in cui M sia rispettivamente uno spazio topologico, uno spazio misurabile, una varietà differenziabile o una varietà complessa, \Phi è un omeomorfismo, una funzione misurabile, un diffeomorfismo o una funzione olomorfa.

Sistemi discreti[modifica | modifica wikitesto]

I sistemi dinamici discreti sono definiti da un'iterazione del tipo:

X_{n+1} = f(X_n) \qquad n \ge 0

di una funzione f : S \to S, con S \subset \R^n. Può essere vista come un'equazione alle differenze:

X_{n+1} - X_n = f(X_n) - X_n \qquad n \ge 0

che definendo F(X_n)=f(X_n) - X_n assume la stessa forma dell'equazione differenziale ordinaria del caso continuo.

Le orbite di un sistema discreto sono una successione di stati \{ X_n \}_{n=1}^\infty. Il gruppo di trasformazioni è quindi dato dall'insieme:

G=\{Id, f, f^2, f^3, \dots f^n, \dots \}

dove l'espressione f^k indica la composizione di funzioni f \circ \dots \circ f di f con sé stessa iterata k volte.

Classificazione in base a ingressi e uscite[modifica | modifica wikitesto]

In ambito ingegneristico i sistemi dinamici vengono classificati in base al numero di variabili d'ingresso e d'uscita, si hanno infatti:

  • sistemi a singolo ingresso e singola uscita (SISO, dall'inglese single input-single output);
  • sistemi a ingresso multiplo e uscita multipla (MIMO, dall'inglese multiple input-multiple output);

e meno frequentemente:

  • sistemi a singolo ingresso e uscita multipla (SIMO, dall'inglese single input-multiple output);
  • sistemi a ingresso multiplo e uscita multipla (MISO, dall'inglese multiple input-single output).

Linearità[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Sistema dinamico lineare.

Una classe molto importante di sistemi dinamici è quella dei sistemi lineari, in cui il legame tra variabili di ingresso e l'uscita è lineare. Sono utilizzati ad esempio nella teoria dei segnali o nella teoria dei circuiti, e spesso sono analizzati in frequenza tramite l'utilizzo di trasformate integrali, come la trasformata di Fourier o la trasformata di Laplace.

Un sistema lineare di n stati \mathbf x \in \R^n, m input \mathbf u \in \R^m e q uscite \mathbf y \in \R^q viene descritto da un'equazione del tipo:[3]

\dot \mathbf x(t) = A(t) \mathbf x(t)+B(t) \mathbf u(t)
\mathbf y(t) = C(t) \mathbf x(t)+D(t) \mathbf u(t)

dove A \in \R^{n \times n}, B \in \R^{n \times m}, C \in \R^{q \times n} e D \in \R^{q \times m} sono matrici (che nel caso stazionario non dipendono dal tempo).

Sistemi lineari e stazionari[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Sistema dinamico lineare stazionario e Sistema dinamico lineare stazionario discreto.

Un sistema dinamico lineare e stazionario è anche detto lineare tempo-invariante, abbreviato spesso con la sigla LTI (dall'inglese Linear Time-Invariant). Nel caso di un sistema continuo, è caratterizzato dal fatto che l'uscita y(t) per un segnale in ingresso x(t) è descritta dalla convoluzione:

y(t) = x(t) * h(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t-\tau)\cdot h(\tau) \, \operatorname{d}\tau = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)\cdot h(t-\tau) \,\operatorname{d}\tau

dove h(t) è la risposta impulsiva, ovvero la risposta del sistema quando l'ingresso x(t) è una funzione a delta di Dirac. Se la funzione h(\tau) è nulla quando \tau < 0 allora y(t) dipende soltanto dai valori assunti da x precedentemente al tempo t, ed il sistema è detto causale.

Un sistema a tempo discreto trasforma la successione in ingresso \{x\} in un'altra successione \{y\}, data dalla convoluzione discreta con la risposta h alla delta di Kronecker:

y[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k]\cdot h[n-k] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[n-k]\cdot h[k]

Gli elementi di \{y\} possono dipendere da ogni elemento di \{x\}. Solitamente y[n] dipende maggiormente dagli elementi in prossimità del tempo n.

I sistemi lineari stazionari sono spesso descritti nel dominio della frequenza (risposta in frequenza) attraverso la funzione di trasferimento, definita come la trasformata di Laplace della risposta all'impulso a Delta.

Sistemi strettamente propri[modifica | modifica wikitesto]

Un ulteriore classificazione per i sistemi lineari li divide in strettamente propri (o puramente dinamici) quando l'uscita dipende esclusivamente dagli stati del sistema, e in tal caso nella rappresentazione matriciale ciò corrisponde a una matrice B nulla, mentre si parla di sistema proprio in tutti gli altri casi. Un caso particolare di sistema proprio si ha quando è la matrice A ad azzerarsi, in tal caso il sistema è detto non dinamico e non è necessario ricorrere a variabili di stato per rappresentarlo, poiché il legame fra ingresso e uscita è istantaneo.[4] È possibile dimostrare che un sistema puramente dinamico ha funzione di trasferimento con grado del numeratore uguale a quello del denominatore mentre un sistema non dinamico ha, ovviamente, funzione di trasferimento con grado zero.

Stabilità[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Teoria della stabilità.

Si possono definire diversi tipi di stabilità per un sistema dinamico, ad esempio la stabilità esterna, anche detta stabilità BIBO (da Bounded Input, Bounded Output), ovvero la proprietà di avere un'uscita limitata se l'ingresso è limitato, oppure la stabilità interna, che si riferisce alla capacità di tornare in una configurazione di equilibrio dopo una perturbazione dello stato di equilibrio stesso. La stabilità esterna viene generalmente utilizzata per analizzare il comportamento di sistemi lineari stazionari (per i quali si valutano i poli della funzione di trasferimento), mentre la stabilità interna sfrutta la rappresentazione in spazio di stato del sistema ed è stata studiata in particolare da Aleksandr Michajlovič Ljapunov.

L'analisi della stabilità di un sistema meccanico è collegata con il fatto che il sistema, se lasciato libero di evolvere, tende spontaneamente a portarsi in una configurazione dove la sua energia potenziale è minima: tale configurazione che corrisponde ad uno stato di equilibrio stabile (si veda il teorema di Lagrange-Dirichlet).

Stabilità esterna[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Stabilità esterna.

Un sistema è stabile esternamente (BIBO stabile) se ad un ingresso limitato corrisponde una uscita limitata. La limitatezza di una funzione scalare f è generalmente definita in tale contesto dal fatto che esiste un M < \infty tale che:

 \sup_{t \ge 0} | f(t) | < M

Nel caso di sistemi dinamici lineari, un sistema lineare è BIBO stabile se e solo se la risposta impulsiva h(t) è assolutamente integrabile, cioè esiste un M' < \infty tale che:[5]

 \int_{-\infty}^\infty |h (\tau)| d\tau < M'

Stabilità interna[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Stabilità interna.

Stabilità strutturale[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Stabilità strutturale.

Teoria delle biforcazioni[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Teoria delle biforcazioni.

Un punto fisso (in generale un punto periodico) è un punto nello spazio delle fasi (cioè uno stato) che rimane invariato durante l'evoluzione del sistema. Un insieme invariante è un insieme di stati che viene mandato in sé stesso dall'evoluzione del sistema, eventualmente spostando i singoli stati all'interno dell'insieme, e un attrattore è un insieme invariante a cui le orbite si avvicinano per tempi che tendono all'infinito.

Sistemi ergodici[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Teoria ergodica.

Caos[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Teoria del caos.

Rappresentazione grafica[modifica | modifica wikitesto]

Nell'ingegneria dei sistemi un sistema può essere modellizzato graficamente tramite una scomposizione in un insieme di sottosistemi collegati tra loro in vario modo (serie, parallelo, retroazione ecc...), ciascuno dei quali è identificato da uno scatolotto il cui funzionamento o comportamento è descritto da una funzione di sottoprocesso che esso svolge all'interno del sistema generale. Lo schema risultante si darà schema a blocchi del sistema (si veda Modello black box).

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Esempi di sistemi dinamici continui sono:

Esempi di sistemi dinamici discreti sono:

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Treccani: Enciclopedia del Novecento II Supplemento (1998) - Sistemi dinamici
  2. ^ (EN) Jinpeng An - Homogeneous Dynamics
  3. ^ Giovanna Finzi - Classificazione dei sistemi dinamici
  4. ^ Classificazione dei sistemi dinamici su unibs.it
  5. ^ (EN) Mauricio de Oliveira - Stability

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Altri progetti[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]