Equazioni di Eulero-Lagrange

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Le equazioni di Eulero-Lagrange, dovute a Leonhard Euler e Joseph Louis Lagrange, sono equazioni differenziali che hanno grande significato in matematica e in fisica.

Nel calcolo delle variazioni la soluzione dell'equazione di Eulero-Lagrange (anche detta equazione di Eulero o equazione di Lagrange[1]) è tale da essere un punto stazionario per un dato funzionale. Essa è l'oggetto del XIX problema di Hilbert (Le soluzioni dei problemi variazionali regolari sono sempre analitiche?), la cui soluzione fu ottenuta da Ennio De Giorgi nel 1957.

In fisica le equazioni di Lagrange sono le equazioni del moto di un sistema conservativo, in quanto si ottengono direttamente a partire dal principio variazionale di Hamilton: minimizzando l'azione, esse descrivono il moto di un oggetto che obbedisce al secondo principio della dinamica e mettono in relazione la posizione e la velocità di ogni elemento che compone un sistema meccanico, in modo che sia possibile caratterizzarne completamente la dinamica.[2]

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

L'equazione di Eulero-Lagrange per un sistema descritto dalla lagrangiana ha la forma:[3]

dove sono le coordinate generalizzate e le loro derivate. La lagrangiana possiede inoltre derivate parziali prime continue.

La lagrangiana di un sistema fisico caratterizza un moto tale per cui il funzionale azione:

ha un punto stazionario (solitamente è un punto di minimo).

In generale la lagrangiana può dipendere dalle derivate superiori alla prima delle coordinate e viene definita sul fibrato tangente di una varietà differenziabile .

Variabili coniugate e costanti del sistema[modifica | modifica wikitesto]

La variabile coniugata relativa alla variabile dipendente da alcune coordinate generalizzate è definita dall'equazione:

Se l'espressione di non contiene la coordinata generalizzata si verifica che:

In tal caso le equazioni di Eulero-Lagrange mostrano che la variazione temporale di è nulla, e pertanto si tratta di una costante del sistema; inoltre, è detta variabile ciclica.

Principio variazionale di Hamilton[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Principio variazionale di Hamilton.

Si consideri un sistema fisico descritto da N coordinate generalizzate che evolve tra due stati e nell'intervallo temporale compreso tra gli istanti e . Il principio variazionale di Hamilton afferma che l'evoluzione del sistema, descritta dalla curva , è un punto stazionario del funzionale azione (solitamente un punto di minimo) per piccole perturbazioni della traiettoria. In altri termini, l'evoluzione del sistema tende a minimizzare il valore dell'integrale che definisce l'azione.[2] Dal punto di vista matematico questo si traduce nel fatto che l'evoluzione del sistema fisico è la soluzione dell'equazione variazionale:

La richiesta che l'effettiva traiettoria percorsa da un sistema fisico sia un punto stazionario dell'azione è equivalente alle equazioni di Eulero–Lagrange, come ci si accinge a dimostrare, quindi per transitività se e solo se vale il secondo principio della dinamica. Le equazioni si ricavano introducendo una piccola perturbazione a che si annulla agli estremi del percorso:

La perturbazione produce una variazione del funzionale azione data da:

Utilizzando l'integrazione per parti per il secondo termine dell'integrando a destra si ottiene:

Le condizioni al contorno annullano il primo termine, per cui:

Il principio di Hamilton richiede che sia nullo per ogni possibile perturbazione in quanto la traiettoria percorsa è un punto stazionario dell'azione. Tale richiesta è dunque soddisfatta se l'integrando è nullo, ovvero se e solo se valgono le equazioni di Lagrange.

Meccanica[modifica | modifica wikitesto]

Lo studio dei sistemi meccanici in termini di equazioni di Eulero-Lagrange è svolto per mezzo della meccanica lagrangiana. In tale contesto le equazioni si chiamano usualmente equazioni di Lagrange, in quanto la loro giustificazione fisica è stata compiuta da Lagrange solo.

Nello studio di un sistema meccanico e vengono fatti coincidere rispettivamente con le coordinate e le velocità generalizzate , e le equazioni di Eulero-Lagrange determinano la loro variazione in funzione del tempo, ovvero l'evoluzione del sistema.

Le derivate parziali dell'energia cinetica lagrangiana rispetto alle velocità (detta quantità di moto generalizzata) e le corrispondenti coordinate generalizzate di un sistema costituito da sottosistemi e a gradi di libertà sono:

La derivata totale temporale dell'ultimo termine è la seguente:

Si ha pertanto:

Per il secondo principio della dinamica la forza risultante è la derivata temporale della quantità di moto, quindi si osserva che la forza generalizzata i-esima vale:

Se ciascuna parte del sistema ha massa costante si ha:

da cui:

Si giunge in questo modo alle equazioni del I tipo:

Le equazioni di Lagrange sono in generale equazioni differenziali del secondo ordine non lineari in funzioni del tempo, le coordinate generalizzate, equivalenti perciò ad un sistema di ordine .[4] In forma vettoriale si ha:

Ora, notando che in generale la forza generalizzata si può dividere in una componente non conservativa ed in una conservativa , e che per definizione:

dal momento che l'energia potenziale è funzione delle sole coordinate del sistema:

scomponendo la forza ed introducendo quest'ultimo termine nullo nell'equazione del I tipo:

si ottengono le equazioni del II tipo, nella forma di Lagrange:

dove è la Lagrangiana meccanica del sistema. Se la sua matrice hessiana rispetto alle componenti della velocità generalizzata è invertibile, allora questa si dice regolare e le equazioni di Lagrange sono un sistema del second'ordine. Come si è visto, esse sono equivalenti al secondo principio della dinamica nell'approccio newtoniano.

Solo nel caso in cui il sistema sia conservativo, e cioè la risultante delle forze non conservative sia nulla, le equazioni del moto sono del tipo di Eulero-Lagrange:

con funzionale costituito dalla differenza tra energia cinetica e energia potenziale, e variabile coniugata costituita dalla quantità di moto generalizzata, mentre ciò non è vero per i sistemi non conservativi.

Si è sempre supposto che il sistema sia correttamente parametrizzato, e quindi i parametri lagrangiani siano una base per lo spazio delle fasi. Tuttavia, nel caso in cui questo risulti difficile, è possibile ridurre la condizione di validità delle equazioni solamente ad una parametrizzazione generatrice (facendo a meno della indipendenza lineare delle coordinate lagrangiane), passando alle equazioni di Appell.

Particelle libere in coordinate polari[modifica | modifica wikitesto]

Una particella libera di massa e velocità in uno spazio euclideo si muove in linea retta conformemente al primo principio della dinamica. Le equazioni di Eulero-Lagrange in coordinate polari modellano il fenomeno come segue. In assenza di potenziale, la lagrangiana è uguale all'energia cinetica:

dove si utilizzano coordinate ortonormali , ed il punto sopra le coordinate rappresenta la derivata rispetto al parametro della curva (usualmente il tempo ). In coordinate polari l'energia cinetica, e dunque la lagrangiana, diventa:

Le componenti radiale ed angolare dell'equazione di Eulero-Lagrange sono rispettivamente,

Da cui:

La soluzione di queste due equazioni è data da:

per un insieme di costanti determinate dalle condizioni iniziali. Perciò, la soluzione è una linea retta data in coordinate polari.

Teoria dei campi[modifica | modifica wikitesto]

In teoria dei campi le equazioni di Eulero-Lagrange si generalizzano nel sistema di equazioni alle derivate parziali:

dove sono le coordinate su di una varietà differenziabile (solitamente lo spazio-tempo) e sono le componenti di un campo su questa varietà a valori in una certa "varietà bersaglio" . Con l'espressione si indica la derivata totale rispetto alla variabile .

Più formalmente, i campi possono essere rappresentati come sezioni di un fibrato con base e fibra , e per rappresentare le loro derivate occorre allora introdurre il formalismo dei getti.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Fox, Charles (1987). An introduction to the calculus of variations. Courier Dover Publications. ISBN 9780486654997.
  2. ^ a b Landau, Lifshits, Pag. 28
  3. ^ Landau, Lifshits, Pag. 30
  4. ^ In problemi semplici l'ordine del sistema si può abbassare

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Lev D. Landau, Evgenij M. Lifshits, Fisica teorica 1 - Meccanica, Roma, Editori Riuniti Edizioni Mir, 1976, ISBN 88-6473-202-0.
  • G. Benettin, Appunti per il corso di fisica matematica (PDF), Padova, 2013.
  • Antonio Fasano e Stefano Marmi, Meccanica Analitica, (2002) Bollati Boringhieri, Torino ISBN 88-339-5681-4
  • Dare A. Wells, Dinamica lagrangiana, con 275 esercizi risolti, ETAS, collana Schaum (1984), 353 p. (traduzione di Lagrangian Dynamics, McGraw-Hill, (1967) ISBN 007-069258-0) Una trattazione esaustiva dell'argomento. Edizione italiana fuori catalogo, sembra reperibile solo nelle biblioteche.
  • (EN) Izrail Moiseevish Gelfand, Calculus of Variations, Dover, 1963, ISBN 0-486-41448-5.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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