Equazioni di Eulero-Lagrange

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Le equazioni variazionali di Eulero, sono equazioni differenziali che rivestono un ruolo molto significativo come modello matematico in meccanica classica, dove sono state formulate per la prima volta storicamente, e in economia.

Declinate in meccanica classica, le equazioni di Eulero possono descrivere un sistema meccanico conservativo. In questo contesto si chiamano in particolare equazioni di Lagrange: queste portano alle equazioni del moto. Il teorema fondamentale della meccanica lagrangiana qui assicura che le equazioni di Lagrange sono equivalenti al secondo principio della dinamica, che mettono in relazione la posizione e la velocità di ogni elemento del sistema.[1]


Le equazioni variazionali di Eulero si possono legare direttamente ad un principio di minima azione. Nell'ambito del calcolo delle variazioni, la soluzione dell'equazione di Eulero[2], è tale da essere un punto stazionario per un dato funzionale. Essa è l'oggetto del XIX problema di Hilbert, la cui soluzione fu ottenuta da Ennio De Giorgi e John Nash nel 1957.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

L'equazione di Eulero-Lagrange per un sistema descritto dalla Lagrangiana ha la forma:[3]

dove sono le coordinate generalizzate e le loro derivate. La lagrangiana possiede inoltre derivate parziali prime continue.

La Lagrangiana di un sistema fisico caratterizza un moto tale per cui il funzionale azione

ha un punto stazionario, il quale, solitamente, è un punto di minimo.

In generale la Lagrangiana può dipendere dalle derivate superiori alla prima delle coordinate e viene definita sul fibrato tangente di una varietà differenziabile .

Variabili coniugate e costanti del sistema[modifica | modifica wikitesto]

La variabile che è coniugata alla variabile originaria è definita dall'equazione:

Se l'espressione di non contiene la coordinata generalizzata si verifica che:

In tal caso le equazioni di Eulero-Lagrange mostrano che la variazione temporale di è nulla, e pertanto si tratta di una costante del sistema; inoltre, è detta variabile ciclica.

Principio di minima azione[modifica | modifica wikitesto]

Magnifying glass icon mgx2.svgLo stesso argomento in dettaglio: Principio di minima azione.

Si consideri un sistema fisico descritto da coordinate generalizzate che evolve tra due stati e nell'intervallo temporale compreso tra gli istanti e . Il principio variazionale di Hamilton afferma che l'evoluzione del sistema, descritta dalla curva , è un punto stazionario del funzionale azione (solitamente un punto di minimo) per piccole perturbazioni della traiettoria. In altri termini, l'evoluzione del sistema tende a minimizzare il valore dell'integrale che definisce l'azione.[1] Dal punto di vista matematico questo si traduce nel fatto che l'evoluzione del sistema fisico è la soluzione dell'equazione variazionale:

La richiesta che l'effettiva traiettoria percorsa da un sistema fisico sia un punto stazionario dell'azione è equivalente alle equazioni di Eulero–Lagrange, come ci si accinge a dimostrare, quindi per transitività se e solo se vale il secondo principio della dinamica. Le equazioni si ricavano introducendo una piccola perturbazione che si annulla agli estremi del percorso:

La perturbazione produce una variazione infinitesima del funzionale e la funzione integranda è data dal lemma di derivazione degli integrali:

Utilizzando l'integrazione per parti per il secondo termine dell'integrando a destra si ottiene:

poiché le condizioni al contorno annullano il primo termine. Il principio di Hamilton richiede che sia nullo per ogni possibile perturbazione in quanto la traiettoria percorsa è un punto stazionario dell'azione. Tale richiesta è dunque soddisfatta se e solo se valgono le equazioni di Eulero-Lagrange, ovvero se l'integrando è nullo:

Meccanica classica[modifica | modifica wikitesto]

Si può dimostrare che delle equazioni di Eulero-Lagrange possono descrivere la dinamica dei sistemi meccanici conservativi in modo identico al secondo principio della dinamica di Newton, mentre ciò non è vero per i sistemi non conservativi. Lo studio dei sistemi meccanici conservativi in termini di equazioni di Eulero-Lagrange viene chiamato meccanica lagrangiana, studio effettuato conoscendo la Lagrangiana del sistema, per distinguerlo dalla meccanica newtoniana studiata con il secondo principio della dinamica, conoscendo cioè le componenti delle forze agenti sul sistema. Il vantaggio della meccanica lagrangiana è che in un parametro scalare, cioè la Lagrangiana, sono riassunte tutte le proprietà del sistema conservativo, mentre nella meccanica newtoniana servono molti parametri scalari, ovvero le componenti di tutte le azioni esterne. In tale contesto le equazioni si chiamano usualmente equazioni di Lagrange, in quanto la loro giustificazione fisica è stata compiuta da Lagrange solo, e sono il primo caso storico e il più rilevante in cui sono state applicate le equazioni di Eulero-Lagrange.[senza fonte]

Nello studio di un sistema meccanico e vengono fatti coincidere rispettivamente con le coordinate e le velocità generalizzate , e le equazioni di Eulero-Lagrange determinano la loro variazione in funzione del tempo, ovvero l'evoluzione del sistema. Si dimostra brevemente qui di seguito la validità della meccanica lagrangiana per sistemi conservativi discreti a massa costante.

Per il secondo principio della dinamica la forza risultante sul sistema è la derivata temporale della quantità di moto:

passando in coordinate generalizzate, la forza generalizzata i-esima vale:

Le derivate parziali dell'energia cinetica rispetto alle velocità (detta quantità di moto generalizzata) e le corrispondenti coordinate generalizzate di un sistema costituito da sottosistemi e a gradi di libertà sono:

La derivata totale temporale dell'ultimo termine è la seguente:

Si ha pertanto:

Se ciascuna parte del sistema ha massa costante si ha:

da cui:

Si giunge in questo modo alle equazioni in forma I:

Le equazioni di Lagrange sono in generale equazioni differenziali del secondo ordine non lineari in funzioni del tempo, le coordinate generalizzate, equivalenti perciò ad un sistema di ordine .[4] In forma vettoriale si ha:

Ora, notando che in generale la forza generalizzata si può dividere in una componente non conservativa ed in una conservativa , e che per definizione:

dal momento che l'energia potenziale è funzione delle sole coordinate del sistema:

scomponendo la forza ed introducendo quest'ultimo termine nullo nell'equazione del I tipo:

si trasformano finalmente le equazioni di moto, in una seconda forma:

dove è per ora semplicemente una nuova quantità. Se la sua matrice hessiana rispetto alle componenti della velocità generalizzata è invertibile, allora questa si dice regolare e le equazioni di Lagrange sono un sistema del second'ordine. Come si è visto, queste equazioni sono del tutto equivalenti al secondo principio della dinamica nell'approccio newtoniano.

Se e solo se il sistema meccanico è conservativo, cioè la risultante delle forze non conservative è nulla, le equazioni del moto sono del tipo di Eulero-Lagrange:

dove il funzionale Lagrangiana è in particolare costituito dalla differenza tra energia cinetica e energia potenziale:

Le equazioni della dinamica generali nella seconda forma che abbiamo visto, la differenza con le equazioni di Lagrange sta appunto nel termine inomogeneo costituito dalle forze non conservative, che in generale possono essere presenti. Per via di questo termine, la dinamica dei sistemi meccanici non è in generale descrivibile da equazioni di Eulero-Lagrange, ma solo quella particolare dei sistemi conservativi. Per i sistemi non conservativi le informazioni sul sistema che occorre conoscere, oltre alla Lagrangiana e alle coordinate generalizzate, sono le forze non conservative.

Si è sempre supposto per ora che il sistema sia correttamente parametrizzato, e quindi i parametri lagrangiani siano una base per lo spazio delle fasi. Tuttavia, nel caso in cui questo risulti difficile, è possibile ridurre la condizione di validità delle equazioni solamente ad una parametrizzazione generatrice, facendo a meno della indipendenza lineare tra le coordinate lagrangiane, passando alle equazioni di Appell.

Particelle libere in coordinate polari[modifica | modifica wikitesto]

Una particella libera di massa e velocità in uno spazio euclideo si muove in linea retta conformemente al primo principio della dinamica. Le equazioni di Eulero-Lagrange in coordinate polari modellano il fenomeno come segue. In assenza di potenziale, la Lagrangiana è uguale all'energia cinetica:

dove si utilizzano coordinate ortonormali , ed il punto sopra le coordinate rappresenta la derivata rispetto al parametro della curva (usualmente il tempo ). In coordinate polari l'energia cinetica, e dunque la Lagrangiana, diventa:

Le componenti radiale ed angolare dell'equazione di Eulero-Lagrange sono rispettivamente,

Da cui:

La soluzione di queste due equazioni è data da:

per un insieme di costanti determinate dalle condizioni iniziali. Perciò, la soluzione è una linea retta data in coordinate polari.

Geometria differenziale[modifica | modifica wikitesto]

Le equazioni variazionali di Eulero si possono esprimere sotto forma del sistema di equazioni alle derivate parziali:

dove sono le coordinate su di una varietà differenziabile , solitamente lo spazio-tempo, e sono le componenti di un campo su questa varietà a valori in una certa "varietà bersaglio" . Con l'espressione si indica la derivata totale rispetto alla variabile .

Più formalmente, i campi possono essere rappresentati come sezioni di un fibrato con base e fibra , e per rappresentare le loro derivate occorre allora introdurre il formalismo dei getti.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ a b Landau, Lifshits, Pag. 28.
  2. ^ Fox, Charles (1987). An introduction to the calculus of variations. Courier Dover Publications. ISBN 9780486654997.
  3. ^ Landau, Lifshits, Pag. 30.
  4. ^ In problemi semplici l'ordine del sistema si può abbassare

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Lev D. Landau, Evgenij M. Lifshits, Fisica teorica 1 - Meccanica, Roma, Editori Riuniti Edizioni Mir, 1976, ISBN 88-6473-202-0.
  • G. Benettin, Appunti per il corso di fisica matematica (PDF), Padova, 2013.
  • Antonio Fasano e Stefano Marmi, Meccanica Analitica, (2002) Bollati Boringhieri, Torino ISBN 88-339-5681-4
  • Dare A. Wells, Dinamica lagrangiana, con 275 esercizi risolti, ETAS, collana Schaum (1984), 353 p. (traduzione di Lagrangian Dynamics, McGraw-Hill, (1967) ISBN 007-069258-0) Una trattazione esaustiva dell'argomento. Edizione italiana fuori catalogo, sembra reperibile solo nelle biblioteche.
  • (EN) Izrail Moiseevish Gelfand, Calculus of Variations, Dover, 1963, ISBN 0-486-41448-5.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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