Flusso (matematica)

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In matematica, in particolare nello studio delle equazioni differenziali ordinarie, un flusso generalizza il concetto di funzione iterata n volte in modo che il numero di iterazioni n diventi un parametro continuo. Più rigorosamente, un flusso è un'azione di gruppo di un gruppo ad un parametro.

È utilizzato in ingegneria e fisica per formalizzare le soluzioni dell'equazione che descrive un sistema dinamico.

L'idea di un vettore di flusso, cioè il flusso di un campo vettoriale, è utilizzata nei più disparati ambiti, come la topologia differenziale, la geometria di Riemann e i gruppi di Lie. Alcuni esempi di vettori di flusso sono il flusso geodetico, il campo vettoriale hamiltoniano, il flusso di Ricci e il flusso di Anosov.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Un flusso definito su un insieme X è un'azione di gruppo di (\R,+) su X. Più esplicitamente, un flusso è una funzione \varphi:X\times \R\rightarrow X con \varphi(x,0) = x e tale da essere coerente con la struttura di un gruppo ad un parametro:

\varphi(\varphi(x,t),s) = \varphi(x,t+s)

per ogni s,t in \R e con x\in X.

L'insieme \mathcal{O}(x,\varphi) = \{\varphi(x,t):t\in\R\} è chiamato orbita di x attraverso \varphi.

Normalmente è richiesto che un flusso sia compatibile con le strutture definite su X, ad esempio se X è uno spazio topologico si richiede solitamente che il flusso sia una funzione continua (in questo modo il flusso forma un sottogruppo ad un parametro di omeomorfismi). In molti casi X = \R^n, oppure è una varietà differenziabile con \varphi una funzione differenziabile (che forma un sottogruppo ad un parametro di diffeomorfismi).

Un flusso locale è un flusso definito su un sottoinsieme:

\mathrm{dom}(\varphi) = \{ (x,t) \ | \ t\in[a_x,b_x], \ a_x<0<b_x, \ x\in X \} \subset X\times \R

e si introduce in genere quando si trattano flussi di campi vettoriali.

In molti campi, come in ingegneria, in fisica e nello studio delle equazioni differenziali, è diffusa una particolare notazione in cui il flusso è scritto implicitamente come x(t,x_0) \equiv \phi_t(x_0), intendendo che la variabile x dipende dal tempo t e dal punto iniziale x_0.

Sistemi dinamici[modifica | modifica wikitesto]

Un comune esempio di flusso in fisica matematica sono le soluzioni di un'equazione differenziale ordinaria autonoma, usata per descrivere i sistemi dinamici:

 y' = f(y) \qquad y(t=0)=x_0

dove il flusso \psi_t(x_0) corrispondente all'orbita (evoluzione del sistema nello spazio delle fasi) per il punto iniziale x_0 è l'unica soluzione al problema ai valori iniziali dato.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) I.P. [I.P. Kornfel'd] Cornfel'd, S.V. Fomin, Ya.G. Sinai, Ergodic theory , Springer (1982)
  • (EN) P.R. Halmos, Lectures on ergodic theory , Math. Soc. Japan (1956) MR0097489 Zbl 0073.09302
  • (EN) E. Hopf, Ergodentheorie , Springer (1970) MR0024581 Zbl 0185.29001
  • (EN) A.M. Vershik, Measurable realization of continuous automorphism groups of a unitary ring Izv. Akad. Nauk. SSSR Ser. Mat. , 29 : 1 (1965) pp. 127–136 Zbl 0194.16302
  • (EN) G.W. Mackey, Point realizations of transformation groups Illinois J. Math.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]