Flusso (matematica)

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In matematica, in particolare nello studio delle equazioni differenziali ordinarie, un flusso generalizza il concetto di funzione iterata n volte in modo che il numero di iterazioni n diventi un parametro continuo. Più rigorosamente, un flusso è un'azione di gruppo di un gruppo ad un parametro.

È utilizzato in ingegneria e fisica per formalizzare le soluzioni dell'equazione che descrive un sistema dinamico.

L'idea di un vettore di flusso, cioè il flusso di un campo vettoriale, è utilizzata nei più disparati ambiti, come la topologia differenziale, la geometria di Riemann e i gruppi di Lie. Alcuni esempi di vettori di flusso sono il flusso geodetico, il campo vettoriale hamiltoniano, il flusso di Ricci e il flusso di Anosov.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Un flusso definito su un insieme è un'azione di gruppo di su . Più esplicitamente, un flusso è una funzione con e tale da essere coerente con la struttura di un gruppo ad un parametro:

per ogni in e con .

L'insieme è chiamato orbita di attraverso .

Normalmente è richiesto che un flusso sia compatibile con le strutture definite su , ad esempio se è uno spazio topologico si richiede solitamente che il flusso sia una funzione continua (in questo modo il flusso forma un sottogruppo ad un parametro di omeomorfismi). In molti casi , oppure è una varietà differenziabile con una funzione differenziabile (che forma un sottogruppo ad un parametro di diffeomorfismi).

Un flusso locale è un flusso definito su un sottoinsieme:

e si introduce in genere quando si trattano flussi di campi vettoriali.

In molti campi, come in ingegneria, in fisica e nello studio delle equazioni differenziali, è diffusa una particolare notazione in cui il flusso è scritto implicitamente come , intendendo che la variabile dipende dal tempo e dal punto iniziale .

Sistemi dinamici[modifica | modifica wikitesto]

Un comune esempio di flusso in fisica matematica sono le soluzioni di un'equazione differenziale ordinaria autonoma, usata per descrivere i sistemi dinamici:

dove il flusso corrispondente all'orbita (evoluzione del sistema nello spazio delle fasi) per il punto iniziale è l'unica soluzione al problema ai valori iniziali dato.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) I.P. [I.P. Kornfel'd] Cornfel'd, S.V. Fomin, Ya.G. Sinai, Ergodic theory, Springer (1982)
  • (EN) P.R. Halmos, Lectures on ergodic theory, Math. Soc. Japan (1956) MR0097489 Zbl 0073.09302
  • (EN) E. Hopf, Ergodentheorie, Springer (1970) MR0024581 Zbl 0185.29001
  • (EN) A.M. Vershik, Measurable realization of continuous automorphism groups of a unitary ring Izv. Akad. Nauk. SSSR Ser. Mat., 29: 1 (1965) pp. 127–136 Zbl 0194.16302
  • (EN) G.W. Mackey, Point realizations of transformation groups Illinois J. Math.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]