Campo vettoriale hamiltoniano

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In matematica e fisica, un campo vettoriale hamiltoniano, il cui nome è dovuto a William Rowan Hamilton, è un particolare tipo di campo vettoriale indotto da una funzione detta hamiltoniana, che è la trasformata di Legendre della lagrangiana di un sistema.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

In generale il concetto di "campo hamiltoniano" è definito nelle varietà simplettiche. Una varietà simplettica è una varietà differenziabile dotata di una 2-forma differenziale che definisce su una struttura complessa non degenere (questo implica necessariamente che la varietà debba avere dimensione pari). Dal momento che la 2-forma è non degenere, questa induce fra il fibrato tangente e il fibrato cotangente della varietà un'applicazione biunivoca, che associa a ogni vettore tangente a un punto una forma lineare (covettore) sullo stesso punto:

per ogni , l'applicazione è un isomorfismo di spazi lineari:

In virtù di questo fatto, ad ogni 1-forma differenziale su si può far corrispondere un campo vettoriale. Sotto questa corrispondenza, in particolare, una 1-forma esatta - ossia il differenziale di una qualsiasi funzione differenziabile - determina univocamente un campo vettoriale , detto campo vettoriale hamiltoniano rispetto all'hamiltoniana . Il campo in questione si ottiene richiedendo che per ciascun campo vettoriale su sia verifica l'identità:

A seconda delle convenzioni, il campo vettoriale hamiltoniano può essere definito in maniera equivalente con un segno opposto. Un esempio di varietà simplettica cui è applicata è lo spazio delle fasi in cui evolve il sistema meccanico descritto dalle equazioni di Hamilton, il fibrato cotangente dello spazio delle configurazioni. Questo è dotato di una struttura geometrica naturale, detta 1-forma di Liouville , il cui differenziale , detto forma simplettica canonica, gioca un ruolo chiave nella struttura delle equazioni di Hamilton.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Ogni campo vettoriale può indurre una trasformazione della varietà su cui è definito in sé, rispetto alla quale ogni punto della varietà viene traslato lungo le rispettive linee del flusso del campo (cioè quelle curve in cui il vettore tangente alla curva coincide punto a punto con il campo vettoriale ). Questo tipo di trasformazione è chiamato gruppo a un parametro di diffeomorfismi generato da ed è effettivamente un gruppo se è rispettata la condizione completezza. Il campo vettoriale hamiltoniano ha la proprietà di generare un gruppo a un parametro di diffeomorfismi che è anche una mappa simplettica, cioè una mappa che preserva la 2-forma differenziale . In formule:

dove e denota la matrice Jacobiana di calcolata nel punto .

Linee di flusso[modifica | modifica wikitesto]

Le linee di flusso di un campo hamiltoniano bidimensionale si trovano tutte all'interno delle curve di livello dell'hamiltoniana , cioè nelle curve di equazione cartesiana per qualche reale.

Questo fatto si dimostra notando che se è una linea di flusso, deve valere l'uguaglianza:

quindi deve rimanere costante, infatti:

.

Gradiente dell'hamiltoniana[modifica | modifica wikitesto]

Un campo hamiltoniano è sempre ortogonale al campo gradiente della sua hamiltoniana. Infatti:

dove il calcolo è fatto punto a punto nelle coordinate canoniche della varietà simplettica , e 2n è la dimensione di .

Solenoidalità[modifica | modifica wikitesto]

Tutti i campi Hamiltoniani sono solenoidali, cioè per il teorema di Schwarz hanno divergenza ovunque nulla:

Questo implica che il flusso di un campo hamiltoniano preserva il volume.

Coordinate canoniche[modifica | modifica wikitesto]

Per il teorema di Darboux, ogni varietà simplettica di dimensione ammette (almeno localmente per ogni punto) un insieme di coordinate dette canoniche, rispetto alle quali la 2-forma è nella forma:

Questo significa che due varietà simplettiche della stessa dimensione sono localmente indistinguibili. Rispetto a queste coordinate il campo vettoriale hamiltoniano localmente si scrive come:

In forma matriciale:

La matrice , chiamata anche matrice simplettica, soddisfa la proprietà , dove è la matrice identità. Localmente quindi la 2-forma definisce effettivamente una struttura complessa (relazione analoga a quella in dove ).

Parentesi di Poisson[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Parentesi di Poisson.

La nozione di campo vettoriale hamiltoniano può condurre alla definizione delle parentesi di Poisson, che sono una operazione bilineare antisimmetrica sulle funzioni differenziabili definite su una varietà simplettica . Le parentesi di Poisson sono definite come:

dove indica la derivata di Lie lungo il campo vettoriale . Inoltre, si può dimostrare che è valida la seguente formula:

che identifica il commutatore di Lie di due campi vettoriali Hamiltoniani generati dalle Hamiltoniane e (il membro di destra dell'equazione) con il campo vettoriale hamiltoniano generato direttamente dalla parentesi di Poisson fra e , (il primo membro). Come conseguenza di questa uguaglianza, le parentesi di Poisson soddisfano l'identità di Jacobi:

che significa che lo spazio vettoriale delle funzioni differenziabili su , equipaggiato con le parentesi di Poisson, ha la struttura di una algebra di Lie su , e la mappa definita da è un omomorfismo di algebre di Lie, il cui nucleo consiste nelle funzioni localmente costanti (funzioni costanti se è connesso).

Spazio euclideo bidimensionale[modifica | modifica wikitesto]

In alcuni contesti, anziché considerare spazi delle fasi naturalmente dotati di una struttura simplettica, si assume tacitamente che le coordinate in uso siano canoniche (questo, in senso stretto, è possibile solo in spazi di dimensione pari). Ad esempio, se si considera il piano cartesiano e si suppone che le coordinate e siano canoniche, si ottiene che data una funzione differenziabile su un aperto :

il campo Hamiltoniano di è il campo vettoriale che associa ad un punto in il vettore:

dove e denotano le derivate parziali di .

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Ralph Abraham, Jerrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, London, Benjamin-Cummings, 1978, ISBN 0-8053-0102-X.
  • (EN) V.I. Arnol'd, Mathematical Methods of Classical Mechanics, Berlin etc, Springer, 1997, ISBN 0-387-96890-3.
  • (EN) Theodore Frankel, The Geometry of Physics, Cambridge, Cambridge University Press, 1997, ISBN 0-521-38753-1.
  • (EN) Dusa McDuff, Salamon, D., Introduction to Symplectic Topology, Oxford Mathematical Monographs, 1998, ISBN 0-19-850451-9.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

(EN) Hamiltonian vector field, in PlanetMath.