Varietà simplettica

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In matematica una varietà simplettica è una varietà differenziabile liscia munita di una 2-forma chiusa non degenere , definita forma simplettica. Lo studio delle varietà simplettiche è denominato geometria simplettica. Esso deriva dalle formulazioni astratte della meccanica classica e della meccanica analitica, come il fibrato cotangente di una varietà, ad esempio nella riformulazione hamiltoniana della meccanica classica.

Una qualsiasi funzione differenziabile, H, a valori reali che lavora su una varietà simplettica fa da hamiltoniana o funzione energia. Ad ogni hamiltoniana è associato un campo vettoriale hamiltoniano; i moti naturali del sistema hamiltoniano sono soluzioni delle equazioni di Hamilton-Jacobi. Tramite il campo hamiltoniano è possibile definire un flusso sulla varietà simplettica, chiamato simplettomorfismo o flusso hamiltoniano. Per il teorema di Liouville, il flusso hamiltoniano preserva la forma volume sullo spazio delle fasi.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Una forma simplettica su una varietà M è una 2-forma differenziale non degenere chiusa, . La coppia (M,) si chiama varietà simplettica. Chiariamo la definizione, con il termine non degenere intendiamo che data una base Xi dello spazio tangente di M in un punto, la matrice

è invertibile (il determinante è diverso da 0). La richiesta di chiusa significa che

dove d è la derivata esterna.

Notiamo come la richiesta di non degenerazione imponga la parità della dimensione di una varietà simplettica; infatti è antisimmetrica, i.e., , per cui l'invertibilità della matrice implica la parità delle sue righe (e colonne).

Sistema di coordinate canonico[modifica | modifica wikitesto]

Consideriamo una varietà simplettica con un sistema di coordinate, o una carta, denotata con la notazione dove .

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Una carta si dice canonica, o sistema di coordinate canonico se accade che

spesso per il sc canonico si usa la notazione classica ponendo e con cosicché la forma simplettica si riscrive (usando la notazione di Einstein)

.

Teorema di Darboux[modifica | modifica wikitesto]

Ogni varietà simplettica possiede un atlante formato da sistemi di coordinate canonici.

Varietà simplettica lineare[modifica | modifica wikitesto]

La varietà simplettica standard è R2n, siano le coordinate cartesiane su , con la forma simplettica data da

in forma matriciale

Questa particolare struttura simplettica è importante perché il Teorema di Darboux ci dice che tutte le varietà simplettiche sono localmente isomorfe alla varietà simplettica standard.

Forma volume simplettico[modifica | modifica wikitesto]

Una varietà simplettica (, ) possiede una forma volume indotta in maniera naturale dalla sua struttura, più precisamente dalla 2-forma.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Si definisce forma volume simplettico, o la forma di Liouville indotta da la

Utilizzando un sc canonico, che esiste sempre per il teorema di Darboux, la forma di Liouville assume l'aspetto

.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

  1. Siccome tutte le forme volume inducono un'orientazione su una varietà anche porta un'orientazione sulla varietà simplettica che viene chiamata anche l'orientazione naturale di M.
  2. La forma volume di Liouville induce una misura positiva sui borelliani di M. Definita

dove è un borelliano di M e si è usato il sc canonico.

Gradienti simplettici[modifica | modifica wikitesto]

Sia una varietà simplettica e una funzione scalare su M.

Chiamiamo gradiente simplettico di h il campo vettoriale X su M definito come l'unico campo vettoriale tale che

è il differenziale di .

Sistema hamiltoniano[modifica | modifica wikitesto]

Notiamo che

è biettiva per via della nondegenerazione di allora è possibile definire un'applicazione inversa

che prende il nome di tensore di Poisson tale che

dove .

Grazie a questo nuovo operatore il gradiente simplettico si può riscrivere come che prende anche il nome di campo vettoriale hamiltoniano e la relativa equazione differenziale associata prende il nome di equazione di hamilton di hamiltoniana .

La terna si chiama sistema hamiltoniano, e la varietà simplettica si definisce anche spazio delle fasi.

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