Derivata di Lie

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In matematica, la derivata di Lie, così chiamata in onore di Sophus Lie da parte di Władysław Ślebodziński, calcola la variazione di un campo vettoriale, più in generale di un campo tensoriale, lungo il flusso di un altro campo vettoriale.

L'idea base della derivata di Lie è quella di confrontare due tensori, uno l'evoluto dell'altro, lungo una stessa curva che è soluzione di un opportuno campo vettoriale e facendo il limite per lo spostamento infinitesimale.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Sia una varietà differenziabile, un campo vettoriale su , un campo tensoriale qualsiasi anch'esso su .

La derivata di Lie di lungo è il campo tensoriale così definito:

con si intende il pull-back di lungo la mappa che coincide con il flusso di . è un campo tensoriale qualsiasi, in particolare vale anche nel caso , cioè quando è una funzione .

Casi particolari[modifica | modifica wikitesto]

Sia una varietà differenziabile m-dimensionale, un opportuno campo vettoriale su , un sistema di coordinate su , con . La notazione indica la componente i-esima del campo vettoriale rispetto alla base naturale indotta dal sistema di coordinate, e lo stesso discorso vale per i campi tensoriali con la notazione .

  • Nel caso della derivata di Lie di una funzione scalare su il pull-back coincide con la composizione di funzione tra e la mappa :
derivando rispetto a si ottiene:
con si intende il differenziale, o la derivata esterna, di .
Se ora si indica con l'algebra delle funzioni definite su , allora:
.
  • Derivata di Lie per un campo tensoriale di tipo su :
Anche in questo caso se si indica con lo spazio vettoriale su , o come modulo sull'anello , dei campi tensoriali su allora:
.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

La derivata di Lie gode di molte proprietà:

  • Linearità. Siano e dei campi tensoriali su . Allora:
  • Regola di Leibniz. Siano e campi tensoriali su . Allora:
  • Sia una q-forma differenziale su , allora
  • Formula di Cartan, o formula magica di Cartan, relativa a q-forme differenziali:
dove denota il prodotto interno e la derivata esterna.Vale anche nel caso ponendo per definizione per ogni campo vettoriale .

Derivata di Lie di un campo vettoriale[modifica | modifica wikitesto]

La derivata di Lie di un campo vettoriale rispetto ad un altro campo vettoriale su una varietà è definita con la notazione che prende il nome di parentesi di Lie e per definizione coincide con la derivata di Lie, cioè:

Se ora si considera un sistema di coordinate su e la rispettiva base indotta sul tangente di , , allora il campo vettoriale si scrive:

e la parentesi di Lie tra i campi vettoriale in coordinate assume il seguente aspetto:

Questa scrittura rende evidente la relazione:

e rende più comprensibile la proprietà sopra indicata con il nome di identità di Jacobi, infatti:

dove rappresenta un altro campo vettoriale su . Grazie a queste relazione lo spazio vettoriale dei campi vettoriali su , indicato con , con l'operazione risulta essere un'algebra di Lie.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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