Parentesi di Poisson

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In matematica e meccanica classica, una parentesi di Poisson, introdotta nel 1809 da Siméon Denis Poisson, è un'operazione binaria che riveste un ruolo di primo piano nella meccanica hamiltoniana, essendo sfruttata nelle equazioni di Hamilton del moto che descrivono l'evoluzione temporale di un sistema dinamico hamiltoniano. Si tratta di un caso particolare della parentesi di Jacobi.

In generale la parentesi di Poisson viene utilizzata per definire un'algebra di Poisson, di cui l'algebra delle funzioni definite su una varietà di Poisson sono un caso speciale.

Si tratta di una costruzione differenziale della forma:

dove e sono funzioni di variabili e . In termini più rigorosi, e generali, le Parentesi di Poisson rappresentano in forma compatta il prodotto scalare simplettico tra i gradienti di due funzioni.

Un'altra notazione è , che però di solito indica il commutatore o le parentesi di Lie

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Si può dimostrare facilmente che per qualsiasi funzione :

e la parentesi di Poisson con una qualsiasi costante è anch'essa nulla:

Le parentesi di Poisson sono forme bilineari anticommutative nei due argomenti e , cioè tali che:

Inoltre dalle proprietà del calcolo differenziale segue:

e sono tali da soddisfare l'identità di Jacobi:

Come ha osservato Carl Jacobi, le parentesi di Poisson sono utili allo studio dei sistemi di equazioni differenziali alle derivate parziali del primo ordine. Inoltre costituiscono uno strumento importante per il trattamento delle grandezze dinamiche espresse come funzioni delle coordinate canoniche nella meccanica analitica. Inoltre hanno corrispondenze nella Meccanica quantistica.

Parentesi di Poisson invarianti[modifica | modifica wikitesto]

Le parentesi di Poisson sono valide per qualsiasi sistema di coordinate. Valgono sempre le seguenti:

Questo vuol dire che:

dove è il delta di Kronecker; queste sono dette parentesi fondamentali di Poisson.

Questo risultato dimostra che le parentesi di Poisson sono indipendenti dal sistema di coordinate, se si pensa ottenuto da trasformazioni delle variabili e , allora costruendo le parentesi di Poisson di queste ultime:

Ora si mostra la dipendenza delle nuove coordinate e funzioni delle vecchie coordinate:

Da questa equazione è facile ricavare le parentesi di Poisson relative alla funzione con le nuove coordinate , sostituendo :

Ma le parentesi di Poisson a secondo membro sono proprio le parentesi di Poisson fondamentali: la prima si annulla, la seconda vale ; dunque:

Analogamente si ottiene la parentesi di Poisson tra la funzione e le coordinate :

Sostituendo e nella quartultima espressione () si ottiene la prima:

Equazioni di Hamilton[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Equazioni di Hamilton.

Dalle relazioni e dalla ottenute sopra, si possono dedurre le equazioni di Hamilton sostituendo alla generica funzione l'Hamiltoniana :

Inoltre si può ottenere l'equazione dell'hamiltoniana:

dalla quale:

Integrali primi di moto[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Integrale primo.

Nella forma delle parentesi di Poisson le grandezze conservate che non dipendono esplicitamente dal tempo avranno parentesi di Poisson con uguali a zero. Infatti, per una generica grandezza conservata si ha:

Applicando ora le equazioni di Hamilton si può trasformare il primo membro come segue:

Se ora la derivata parziale rispetto al tempo si annulla in quanto è esclusa una dipendenza temporale esplicita, si ottiene:

che è quanto volevasi dimostrare.

Teorema di Poisson[modifica | modifica wikitesto]

Vale inoltre il seguente teorema, detto teorema di Poisson: se e sono integrali del moto, anche la grandezza ottenuta calcolando le parentesi di Poisson tra e , ovvero , è un integrale del moto.

Nel caso di e non dipendenti esplicitamente dal tempo si dimostra rapidamente, infatti si ha:

Applicando l'identità di Jacobi il secondo membro diviene:

ma le parentesi di poisson di e con l'hamiltoniana sono nulle per ipotesi. Quindi vale:

Varietà simplettiche[modifica | modifica wikitesto]

Sia una varietà simplettica, ovvero una varietà in cui è definita una forma simplettica: una 2-forma che è chiusa (cioè derivata esterna nulla: ) e non-degenere. Ad esempio, sia e:

Se è un prodotto interno definito come , allora il fatto che non sia degenere è equivalente a dire che per ogni 1-forma c'è un unico campo vettoriale tale che:

Se quindi è una funzione liscia definita su , il campo vettoriale hamiltoniano può essere ad esempio . Si mostra facilmente che:

La parentesi di Poisson su è un'operazione bilineare su funzioni differenziabili, definita da:

La parentesi di Poisson di due funzioni su è essa stessa una funzione su . Nello specifico si tratta di una funzione antisimmetrica:

Inoltre:

dove denota il campo vettoriale applicato a come una derivata direzionale, e è la derivata di Lie di .

Se è una 1-forma qualsiasi definita su , il campo vettoriale genera un flusso che soddisfa la condizione al contorno e l'equazione differenziale di primo grado:

è un simplettomorfismo per ogni come funzione di se e solo se ; quando ciò si verifica, è detto campo vettoriale simplettico.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]