Sistema autonomo (matematica)

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In matematica, un sistema autonomo o equazione differenziale autonoma è un sistema di equazioni differenziali ordinarie che non dipendono esplicitamente dalla variabile indipendente.

I sistemi autonomi sono utilizzati nello studio dei sistemi dinamici, dove la variabile indipendente è il tempo.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Un'equazione autonoma è un'equazione differenziale ordinaria del tipo:

dove è una funzione continua con derivata prima continua in tutto un intervallo , e che non dipende dalla variabile indipendente . Se è un vettore di si ha un sistema autonomo, ovvero un sistema di equazioni differenziali ordinarie autonome:

Di particolare importanza sono i punti tali per cui , detti punti di equilibrio, ai quali corrisponde la soluzione costante .

Un generico sistema di equazioni differenziali ordinarie (in cui dipende da ):

può essere reso autonomo introducendo una nuova incognita .

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Sia l'unica soluzione del problema ai valori iniziali per il sistema autonomo:

Allora è soluzione di:

Infatti, ponendo si ha e , sicché:

e la condizione iniziale è verificata:

Inoltre, se allora la funzione costante è una soluzione (come si verifica sostituendola nell'equazione, osservando che la sua derivata è nulla) che soddisfa la condizione iniziale . In particolare, un vettore tale che è un punto di equilibrio per il sistema se e solo se .

Soluzioni[modifica | modifica wikitesto]

La soluzione formale di un sistema del primo ordine si ottiene scrivendo:

da cui:

Integrando si ottiene la soluzione generale:

dove è una costante dipendente dalle condizioni iniziali. Più precisamente, grazie al fatto che l'integrale precedente è una funzione invertibile, si mostra che se è definita su e allora esistono un intorno di ed un intorno di tali per cui esiste almeno una soluzione di tale che . Considerando pertanto il problema di Cauchy abbinato all'equazione autonoma , se allora la soluzione è costante () mentre se la soluzione è data dall'integrale:

A partire dalle soluzioni si possono ricavare proprietà generali per l'equazione autonoma: se la funzione ha segno costante allora anche la derivata ha segno costante, cioè mantiene la monotonia. Ad esempio, Si consideri:

Questa equazione ha una soluzione costante . Le altre soluzioni sono crescenti se e decrescenti se e non si hanno punti di flesso. Un altro esempio semplice è l'equazione logistica.

Secondo ordine[modifica | modifica wikitesto]

Per un'equazione autonoma del secondo ordine:

si introduce la variabile:

e si esprime la derivata seconda di , sfruttando la regola della catena, come:

In questo modo l'equazione originale diventa:

che è un'equazione del primo ordine che non dipende esplicitamente da . Risolvendola si ottiene in funzione di , e dalla definizione di si ha:

da cui:

che è la soluzione implicita.

Soluzioni periodiche[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema di Bendixson-Dulac.

Si consideri un sistema autonomo di due variabili con relativo problema di Cauchy:

Per stabilire se il sistema abbia soluzioni periodiche vale il criterio di Bendixon, il quale afferma che se il sistema ammette una soluzione periodica allora la divergenza del campo vettoriale:

non ha segno costante (anche se può essere nulla).

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

La soluzione del sistema autonomo è una curva . Applicando il teorema della divergenza:

dove è il versore normale dato da:

Quindi l'integrale diventa:

dove è il periodo della soluzione periodica. Questo significa che la divergenza assume:

e quindi non può essere sempre positiva o sempre negativa, altrimenti non si potrebbe annullare.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) William E. Boyce, Richard C. DiPrima, Elementary Differential Equations and Boundary Volume Problems, 8th ed., John Wiley & Sons, 2005, p. 133, ISBN 0-471-43338-1.
  • (EN) Blanchard, Devaney, Hall, Differential Equations, Brooks/Cole Publishing Co, 2005, pp. 540–543, ISBN 0-495-01265-3.
  • (EN) S.E. Cappell, J.L. Shaneson, Non-linear similarity Ann. of Math. , 113 (1981)
  • (EN) N.H. Kuiper, The topology of the solutions of a linear differential equation on , Proc. Internat. Congress on Manifolds (Tokyo, 1973)
  • (EN) N.H. Kuiper, J.W. Robbin, Topological classification of linear endomorphisms Inv. Math. , 19 (1973)

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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