Osservabilità

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Nella teoria del controllo, la proprietà di osservabilità un sistema dinamico determina la possibilità di risalire allo stato del sistema a partire dalla conoscenza delle sue uscite. Osservabilità e controllabilità sono generalmente due caratteristiche legate fra loro; in particolare, nei sistemi dinamici lineari stazionari sono matematicamente duali.

Sistemi dinamici lineari[modifica | modifica wikitesto]

Un sistema si dice osservabile se, per qualunque combinazione possibile di stati e ingressi, lo stato corrente può essere determinato in tempo finito attraverso le uscite del sistema. In altri termini, se un sistema è completamente osservabile significa che lo spazio delle fasi è sufficientemente grande da contenere tutti gli stati possibili.

Per i sistemi dinamici lineari tempo invarianti:

\dot{\mathbf{x}}(t) = A \mathbf{x}(t) + B \mathbf{u}(t)
\mathbf{y}(t) = C \mathbf{x}(t)

se lo stato {\textstyle \mathbf{x}} ha dimensione n ed il rango della matrice di osservabilità:

\begin{bmatrix} C \\ CA \\ CA^2 \\ \vdots \\ CA^{n-1} \end{bmatrix}

è pieno, ovvero uguale a n, il sistema è osservabile. Si nota che, in altri termini, se n righe sono linearmente indipendenti allora ognuno degli n stati è osservabile attraverso combinazioni lineari delle variabili di uscita y(k). Uno modulo progettato per misurare lo stato di un sistema dalla misurazione delle uscite viene chiamato un osservatore di stato o semplicemente "osservatore" per quel sistema.

Si definisce inoltre l'indice di osservabilità di un sistema LTI come il più piccolo numero naturale v per cui vale rank{(O_v)} = rank{(O_{v+1})}, dove:

 O_v= [ C \quad CA \quad  CA^2 \quad  \dots \quad  CA^{v-1} ]^T

Per i sistemi LTI osservabilità e controllabilità sono proprietà duali; nello specifico si definisce il sistema duale:

\dot{\mathbf{x}}(t) = A^T \mathbf{x}(t) + C \mathbf{u}(t)
\mathbf{y}(t) = B \mathbf{x}(t)

ed si verifica che il sistema originale è completamente osservabile se e solo se il sistema duale è completamente controllabile, ed è completamente controllabile se e solo se il sistema duale è completamente osservabile.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Roger W. Brockett, Finite Dimensional Linear Systems, John Wiley & Sons, 1970, ISBN 978-0-471-10585-5.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]