Risposta impulsiva

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Nella teoria dei sistemi, la risposta impulsiva o risposta all'impulso di un sistema dinamico è la sua uscita quando è soggetto ad un ingresso a Delta di Dirac; viene utilizzata per descrivere la risposta in frequenza di un sistema dinamico ad una perturbazione generica. La delta di Dirac vista come "funzione" contiene equamente tutte le frequenze, e si presta particolarmente bene allo studio teorico nel dominio della frequenza di un sistema lineare.

Il comportamento ingresso-uscita di un sistema dinamico lineare stazionario (LTI) è completamente caratterizzato dalla sua risposta impulsiva, la cui trasformata di Laplace viene detta funzione di trasferimento del sistema LTI.

Sistemi LTI[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Sistema dinamico lineare stazionario.

L'uscita y(t) di un sistema dinamico lineare stazionario (LTI) a tempo continuo soggetto ad un segnale in ingresso x(t) è descritta dalla convoluzione:

y(t) = x(t) * h(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t-\tau)\cdot h(\tau) \, \operatorname{d}\tau = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)\cdot h(t-\tau) \,\operatorname{d}\tau

dove h(t) è la risposta del sistema quando l'ingresso x(t) è una funzione a delta di Dirac. Per sistemi LTI h è l'antitrasformata di Laplace della funzione di trasferimento. L'uscita y è quindi proporzionale alla media dell'ingresso x pesata dalla funzione  h(-\tau), traslata di un tempo t. L'operazione di convoluzione può essere particolarmente difficile da effettuare per via analitica, e viene spesso eseguita come prodotto algebrico nel dominio delle frequenze, grazie al teorema di convoluzione.

Se la funzione h(\tau) è nulla quando \tau < 0 allora y(t) dipende soltanto dai valori assunti da x precedentemente al tempo t, ed il sistema è detto causale.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) F. Alton Everest, Master Handbook of Acoustics, Fourth ed., McGraw-Hill Professional, 2000, ISBN 0-07-136097-2.
  • (EN) Helmut Lütkepohl, Impulse response function in The New Palgrave Dictionary of Economics, 2nd, 2008.
  • (EN) James D. Hamilton, Difference Equations in Time Series Analysis, Princeton University Press, 1994, p. 5, ISBN 0-691-04289-6.

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