Soluzione fondamentale

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In matematica, una soluzione fondamentale per un operatore differenziale lineare alle derivate parziali è una formulazione nel più recente linguaggio delle distribuzioni della precedente idea di funzione di Green.

Si tratta della soluzione di un'equazione differenziale lineare (avente come coefficienti funzioni lisce) che soddisfa:

dove è la delta di Dirac, è fissato e .

Ogni equazione a coefficienti costanti ammette una soluzione fondamentale, e dunque ogni equazione ellittica.

Nella teoria dei segnali, l'analogo della soluzione fondamentale di un'equazione differenziale è la risposta impulsiva di un filtro.

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

Si consideri con:

La soluzione fondamentale può essere ottenuta risolvendo , ovvero:

Dal momento che:

dove è la funzione gradino di Heaviside, si ha una soluzione:

con una costante arbitraria. Per convenienza, si pone .

Dopo aver integrato , ponendo nulla la nuova costamte di integrazione si ha:

Si può allora trovare la soluzione dell'equazione di partenza facendo la convoluzione di con la soluzione fondamentale :

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) A. Friedman, Partial differential equations of parabolic type, Prentice-Hall (1964)
  • (EN) O.A. Ladyzhenskaya, N.N. Ural'tseva, "Linear and quasilinear elliptic equations" , Acad. Press (1968)
  • (EN) O.A. Ladyzhenskaya, V.A. Solonnikov, N.N. Ural'tseva, "Linear and quasilinear parabolic equations" , Amer. Math. Soc. (1968)

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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