Funzione di Green

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In matematica, la funzione di Green è uno strumento matematico particolarmente adatto alla manipolazione e risoluzione di equazioni differenziali non omogenee.

Il nome deriva dal matematico e fisico britannico George Green (14 luglio 1793 – 31 maggio 1841), cui si deve anche il famoso teorema di Green. I campi di applicazione di questa funzione sono ormai tra i più vari. Fondamentale, ad esempio, è il suo utilizzo nella teoria quantistica delle interazioni, in particolare nella teoria quantistica dei campi interagenti e nella teoria dei sistemi a molti corpi, dove è a volte indicata col nome di propagatore.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Sia dato un arbitrario operatore differenziale lineare che agisce su un opportuno spazio di funzioni, nella generica variabile . Un'equazione differenziale, che è in generale alle derivate parziali, è scritta nel seguente modo:

La funzione di Green dell'operatore è definita come la distribuzione (soluzione fondamentale) tale che:

Grazie alla proprietà della delta di Dirac:

Dal momento che , si ha (portando che agisce solo su fuori dall'integrale):

da cui si ottiene:

dove è una soluzione dell'equazione omogenea associata . La funzione arbitraria è univocamente fissata dalle condizioni al contorno del problema.

In modo equivalente, facendo uso della notazione di Dirac per gli spazi vettoriali, una generica equazione differenziale è scritta nel seguente modo:

Se ammette un inverso allora l'equazione si può formalmente risolvere come segue:

Moltiplicando a sinistra per e sfruttando la spettralizzazione dell'identità:

si ottiene:

La funzione di Green di un operatore differenziale è dunque il nucleo integrale dell'inverso, se esiste, dell'operatore medesimo:

La funzione di Green e la trasformata di Fourier[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Trasformata di Fourier.

Uno dei metodi più potenti per trovare le funzioni di Green in casi specifici è l'utilizzo della trasformata di Fourier, che ha la fondamentale proprietà di convertire operazione di derivazione in semplici prodotti, e quindi equazioni differenziali in equazioni algebriche. Detta la dimensione dello spazio delle variabili , si ha che la trasformata di Fourier nella variabile è data da:

mentre la rappresentazione di Fourier della è:

Inserendo tale rappresentazione nella definizione:

è possibile ottenere una forma per .

Il laplaciano[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Operatore di Laplace.

Si vuole ricavare la funzione di Green dell'operatore laplaciano in tre dimensioni. Si ha:

dove si utilizza dal momento che la funzione di Green dipende solo dalla differenza delle variabili, data l'evidente simmetria dell'equazione. Utilizzando la trasformata di Fourier di entrambi i membri si ottiene:

e dunque:

La risoluzione dell'integrale è:

dove si intende e si è ipotizzato che sia lungo la direzione nel -spazio. L'ultimo integrale si risolve con un'integrazione di contorno rendendo complessa la variabile e chiudendo il contorno nel semipiano superiore:

Per il calcolo del residuo del polo in si è utilizzata la parte principale. In definitiva:

Teoria perturbativa[modifica | modifica wikitesto]

Il formalismo della funzione di Green risulta particolarmente adatto per la risoluzione (per lo meno formale) di problemi di natura perturbativa. Supponiamo ad esempio di avere il seguente operatore differenziale:

con numero reale generico, e supponiamo inoltre di aver risolto o comunque che sia noto il problema relativo al solo operatore . Si denoti con l'operatore di Green (noto per ipotesi) per (ossia ). Dunque l'equazione che definisce l'operatore di Green completo è:

il che comporta:

ossia, ricordando che :

Quest'ultima equazione è fondamentale nel caso in cui il parametro sia sufficientemente piccolo da poter trattare il "potenziale" come perturbazione dell'operatore libero . Infatti la precedente si può risolvere formalmente utilizzando uno sviluppo in serie per :

Se è più piccolo dell'unità le sue potenze decresceranno (più è piccolo più la decrescenza sarà rapida) quindi ogni addendo aggiuntivo contribuirà all'operatore di Green completo con un peso sempre minore. A seconda delle esigenze si potrà troncare lo sviluppo ad un ordine opportuno ed ottenere un'ottima approssimazione per . Il tutto si può riscrivere nel più comune linguaggio integrale:

la quale ammette una soluzione formale come serie di Neumann:

Evidentemente, una volta ottenuto uno sviluppo in serie di per è immediato ottenerlo anche per la soluzione dell'equazione differenziale:

dove è il solito termine non omogeneo. Dato che si ha:

si ottiene la seguente equazione integrale per la soluzione:

con:

ossia soluzione dell'equazione "libera". La precedente ammette ovviamente una soluzione sotto forma di sviluppo perturbativo in :

Con questo formalismo si riescono dunque ad ottenere soluzioni approssimate per l'equazione differenziale. L'approssimazione è tanto più buona quanto più aumenta l'ordine dello sviluppo a cui intendiamo fermare il nostro calcolo, ossia l'esponente di .

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) S. S. Bayin (2006), Mathematical Methods in Science and Engineering, Wiley, Chapters 18 and 19.
  • (EN) Eyges, Leonard, The Classical Electromagnetic Field, Dover Publications, New York, 1972. ISBN 0-486-63947-9. (Il capitolo 5 contiene una spiegazione molto scorrevole sull'uso della funzione di Green per risolvere problemi con valori al contorno in elettrostatica.)
  • (EN) A. D. Polyanin and V. F. Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition), Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2
  • (EN) A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9
  • (EN) G. B. Folland, Fourier Analysis and Its Applications, Wadsworth and Brooks/Cole Mathematics Series.
  • (EN) K. D. Cole, J. V. Beck, A. Haji-Sheikh, and B. Litkouhi, Heat Conduction Using Green's Functions, Taylor and Francis, 2011, pp. 101 - 148. ISBN 978-1-4398-1354-6
  • (EN) Sadri Hassani, "Mathematical Physics", Springer-Verlag New York, 1999.
  • (EN) Albert Messiah, "Quantum Mechanics", Vol II, Wiley, 1966. Valido per un'analisi dettagliata della teoria perturbativa.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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