Serie di Neumann

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In matematica una serie di Neumann è una serie della forma:

dove è un operatore. Questa è una generalizzazione della serie geometrica.

La serie prende il nome del matematico Carl Gottfried Neumann, che la usò nel 1877 nel contesto della teoria del potenziale. La serie di Neumann è usata in analisi funzionale. Forma le basi per la serie di Liouville-Neumann, che serve a risolvere le equazioni integrali di Fredholm. È anche importante per lo studio dello spettro degli operatori limitati.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Sia un operatore limitato su uno spazio normato . Se la serie di Neumann converge nella norma operatoriale, allora è invertibile e la sua inversa è la somma della serie:

Un caso in cui la convergenza è garantita è quando è uno spazio di Banach e nella norma operatoriale. Tuttavia, ci sono risultati che danno condizioni più deboli sotto le quali la serie converge.

Un corollario è che l'insieme degli operatori invertibili tra due spazi di Banach e è aperto nella topologia indotta dall'operatore norma. Quindi, sia un operatore invertibile e sia un altro operatore. Se , allora anche è invertibile. Questo segue da scrivere come:

e applicando il risultato della sezione precedente al secondo fattore. La norma di può essere limitata da:

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Dirk Werner, Funktionalanalysis, Springer Verlag, 2005, ISBN 3-540-43586-7.
  • (EN) Smithies, Integral equations , Cambridge University Press (1970) pp. Chapt. II
  • (EN) N. Suzuki, On the convergence of Neumann series in Banach space Math. Ann. , 220 (1976) pp. 143–146
  • (EN) H.W. Engl, A successive-approximation method for solving equations of the second kind with arbitrary spectral radius J. Integral Eq. , 8 (1985) pp. 239–247
  • (EN) I.C. Gohberg, S. Goldberg, Basic operator theory , Birkhäuser (1981)
  • (EN) A.E. Taylor, D.C. Lay, Introduction to functional analysis , Wiley (1980) pp. Chapt. 5

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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