Ergodicità

In matematica, l'ergodicità è una proprietà fondamentale che esprime il seguente principio: in un sistema dinamico o in un processo stocastico, un punto in movimento esplorerà progressivamente tutto lo spazio disponibile in modo uniforme e casuale. Questa proprietà garantisce che il comportamento medio del sistema può essere determinato seguendo la traiettoria di un singolo punto "tipico" nel tempo, poiché la media temporale, ottenuta dall'osservazione prolungata di un singolo punto, coincide con la media d'insieme, ricavata dall'osservazione simultanea di molti punti in un istante.

L'ergodicità implica inoltre che un numero sufficientemente grande di campioni casuali prelevati da un processo è rappresentativo delle proprietà statistiche dell'intero sistema. Si tratta di una proprietà globale del sistema che indica la sua irriducibilità: un sistema ergodico non può essere scomposto in sottosistemi più piccoli e indipendenti che non comunicano tra loro.

Nel contesto specifico dei processi stocastici, un processo si dice ergodico rispetto a un parametro al tempo t se la sua stima temporale converge in media quadratica a tale parametro, con funzione di autocorrelazione che tende a zero per t che tende all'infinito. La teoria ergodica costituisce la branca della matematica che si occupa dello studio dei sistemi dotati di questa proprietà.

Definizione

La caratteristica fondamentale del processo ergodico è che tramite una singola osservazione di una funzione membro del processo, riusciamo a caratterizzare tutta la statistica dell'intero processo. Ciò equivale a dire che un processo ergodico è completamente caratterizzabile tramite osservazione di una funzione membro del processo. Viene poi definito un limite, per validare questa teoria, ovvero tutti gli elementi del processo, affinché questo sia ergodico, devono essere incorrelati:

Esempi:

• in teoria dei segnali, un processo stocastico si dice ergodico quando le medie statistiche convergono quasi ovunque alle medie temporali. Condizione necessaria all'ergodicità è quindi la stazionarietà in senso lato, fino all'ordine per cui si desidera che sia verificata la proprietà di ergodicità. In particolare, si parla di ergodicità nella media quando la media temporale e la media statistica coincidono; si parla di ergodicità nella correlazione quando la autocorrelazione statistica e la autocorrelazione temporale coincidono;

• in meccanica statistica, i sistemi ergodici o quasi ergodici godono di particolari proprietà essenziali per la deduzione delle proprietà statistiche.

In parole povere un processo si dice ergodico se in tutte le sue ripetizioni passa, nel limite per $T\to \infty$, in ogni suo possibile stato una percentuale di tempo pari alla probabilità di trovarsi in quello stato, cioè passa per tutti gli stati a cui ha accesso nel tempo della misura.

L'ergodicità viene ipotizzata tutte le volte che si dovrebbero seguire uno o più fenomeni nel tempo ma laddove, per ovvi motivi (la ricerca sarebbe troppo lunga) non è possibile, si studia il fenomeno ad un dato istante "t" e si considerano le differenti unità statistiche della popolazione di riferimento con diversi stadi di evoluzione temporale del fenomeno, come se fosse una sola unità seguita nel tempo (si sostituisce la media temporale con quella spaziale o la media longitudinale con quella trasversale). Tale metodo, per esempio, viene utilizzato per costruire le tavole di sopravvivenza in demografia.

Collegamenti esterni

• ergodicità, su Treccani.it – Enciclopedie on line, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.
• Luca Tomassini, Ergodicita, in Enciclopedia della scienza e della tecnica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2008.
• Ergodicità, su Vocabolario Treccani, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.
• Samantha Leorato, Ergodicità, in Dizionario di Economia e Finanza, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2012.
• (EN) Ergodicity, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
• (EN) A. S. Wightman Lectures on Statistical Mechanics (I) (teoria ergodica nella fisica statistica)
• (EN) A. S. Wightman Lectures on Statistical Mechanics (II) (capitolo 1: teoria ergodica nella fisica statistica)