Statistica di Fermi-Dirac

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In meccanica statistica, la distribuzione di Fermi-Dirac, abbreviata in statistica F-D, determina la distribuzione statistica dei fermioni negli stati di energia per un sistema in equilibrio termico. I fermioni sono particelle che obbediscono al principio di esclusione di Pauli: ovvero non possono esistere nello stesso stato fisico due fermioni aventi gli stessi numeri quantici. La termodinamica statistica viene usata per descrivere il comportamento di grandi quantità di particelle. Un insieme di fermioni non interagenti è detto gas di Fermi.

La statistica di Fermi-Dirac è strettamente collegata alla statistica di Maxwell-Boltzmann e alla statistica di Bose-Einstein. Mentre la statistica F-D vale per i fermioni, la statistica B-E gioca lo stesso ruolo per i bosoni, l'altra famiglia di particelle riscontrabili in natura. La statistica M-B descrive la distribuzione di velocità delle particelle in un gas classico e rappresenta il limite classico (di alta temperatura) delle statistiche F-D e B-E. La statistica M-B è particolarmente utile nello studio dei gas, la B-E nello studio dei fotoni e di altri bosoni. La statistica F-D viene spesso usata per lo studio degli elettroni nei solidi. Come tali, esse formano la base per la teoria dei semiconduttori e dell'elettronica. L'invenzione della meccanica quantistica quando applicata attraverso la statistica F-D, ha reso possibile scoperte come quella del transistor. Per questo motivo la statistica F-D è ben conosciuta, non solo dai fisici, ma anche dagli ingegneri elettronici.

La statistica di Fermi-Dirac venne introdotta nel 1926 da Enrico Fermi e Paul Dirac[1] ed applicata nel 1927 da Arnold Sommerfeld agli elettroni nei metalli.[1]

Sviluppo concettuale[modifica | modifica sorgente]

Si suppongano due fermioni posti in un sistema con quattro livelli. Esistono sei possibili disposizioni di tale sistema, che sono mostrate nel diagramma sottostante.

   ε1   ε2   ε3   ε4
A  *    *
B  *         *
C  *              *
D       *    *
E       *         *
F            *    *

Ognuna di queste disposizioni è detta microstato del sistema. È un postulato fondamentale della fisica statistica che in equilibrio termico, ognuno di questi microstati sia egualmente soggetto ai vincoli imposti dell'energia totale e del numero di particelle conosciute.

A seconda dei valori di energia per ogni stato, può essere che l'energia totale di una di queste sei combinazioni sia pari alle altre. In effetti, se si assume che le energie siano multiple secondo interi successivi (a partire da 1) di un dato valore ε, l'energia di ognuno dei sei microstati diventa:

A: 3ε
B: 4ε
C: 5ε
D: 5ε
E: 6ε
F: 7ε

Quindi, sapendo che il sistema ha energia pari a 5ε, si può concludere che gli stati C e D hanno la stessa probabilità di essere occupati. Si noti che se le particelle fossero distinguibili (il caso classico), i microstati sarebbero dodici e non sei.

La funzione di distribuzione di Fermi-Dirac[modifica | modifica sorgente]

È possibile ottenere da argomenti statistici (come esplicitato nel prossimo paragrafo) la forma della distribuzione di Fermi-Dirac, cioè del numero medio di fermioni che occupano uno stato di singola particella di energia \varepsilon alla temperatura T. Si ottiene:[2]

\left\langle n\right\rangle = \frac{1}{\exp\left(\frac{\varepsilon - E_F}{k_B T}\right) + 1}

dove:

Una derivazione della distribuzione di Fermi-Dirac[modifica | modifica sorgente]

Consideriamo un sistema di N fermioni, che possono occupare degli stati di singola particella individuati da una collezione \nu di numeri quantici, a cui è associata l'energia \varepsilon_\nu. Vogliamo determinare il numero medio di occupazione dello stato \nu, supponendo che esso dipenda solo da \varepsilon_\nu, oltre che da N e dalla temperatura T. Otterremo questa distribuzione mediante il principio di massimo dell'entropia, cercando cioè la distribuzione che rende massima l'espressione di Boltzmann-Gibbs dell'entropia, con i vincoli che il numero totale di particelle sia pari a N e l'energia totale del sistema sia pari a E.

Secondo Boltzmann-Gibbs, l'entropia di una distribuzione è data da:[3]

S= k_B \ln W \

dove W è il numero di stati microscopici che corrispondono a quella distribuzione. Supponiamo di raggruppare gli stati microscopici in gruppi, tali che il gruppo j contiene Gj stati di singola particella e Nj particelle, con G_j,N_j \gg 1, e tuttavia le energie corrispondenti siano molto vicine fra loro e a un'energia "media" \varepsilon_j. In queste condizioni, il numero medio di occupazione degli stati che appartengono al gruppo j è uguale per tutti, e pari a:

n_j = N_j/G_j

Il numero di modi in cui le Nj particelle possono essere distribuite fra i Gj stati è dato dal coefficiente binomiale G_j!/N_j!(G_j-N_j)!.[3] Quindi il logaritmo del numero totale di stati microscopici sarà dato dalla somma di questi contributi per ogni gruppo j:

 S = k_B \ln W = k_B \sum_j \ln \frac{G_j!}{N_j!(G_j-N_j)!}
\qquad{}\simeq k_B \sum_j
\left[G_j \ln G_j -G_j-N_j \ln N_j +N_j-(G_j-N_j) \ln (G_j -N_j)+G_j -N_j\right],

dove abbiamo utilizzato la formula di Stirling per il fattoriale:[3]

\ln N! \simeq N \ln N-N.

Otteniamo così

 S =-k_B \sum_j G_j \left[n_j \ln n_j +(1-n_j) \ln (1-n_j)\right],

che deve essere massimizzato con i vincoli

 \sum_j G_j n_j=N;\qquad \sum_j G_j n_j \varepsilon_j = E.

Questo è un problema di estremo vincolato che si risolve introducendo due moltiplicatori di Lagrange \alpha e \beta. La soluzione è

\frac{n_j}{1-n_j}=exp(\alpha-\beta \varepsilon_j) .

Risolvendo rispetto a n_j si ottiene

n_j=\frac{1}{\exp(\beta \varepsilon_j-\alpha)+1},

che coincide con la distribuzione di Fermi ove si ponga

 \alpha=\frac{\mu}{k_B T};\qquad \beta=\frac{1}{k_B T}.

Gas di Fermi degenere[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Gas di Fermi.

Nel limite di bassa temperatura (praticamente in prossimità dello zero assoluto), la distribuzione di Fermi-Dirac assume un andamento a "gradino":

\left\langle n\right\rangle = \chi(\varepsilon - \mu_0)

dove:

  • \chi è la funzione caratteristica o funzione indicatrice dell'intervallo [0,\mu_0];
  • \mu_0 è il potenziale chimico a T = 0;

ovvero la distribuzione vale 1 se \varepsilon < \mu_0 e 0 se \varepsilon > \mu_0.

In queste condizioni, il sistema occupa tutti e soli gli stati di singola particella con energia inferiore a un valore massimo \varepsilon_F = \mu_0, detto energia di Fermi. Un gas di fermioni che si trovi in questa situazione è detto gas di Fermi degenere ed è caratterizzato da particolari proprietà:

La teoria del gas di Fermi degenere è stata studiata in particolare dal fisico tedesco Arnold Sommerfeld ed ha importanti applicazioni in diversi campi:

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ a b Kragh, op. cit., p. 36
  2. ^ Bube, op. cit., p. 93
  3. ^ a b c Löwdin, op. cit., p. 13

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

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