Forza centrale

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In meccanica classica, una forza centrale è una forza diretta lungo la congiungente del punto di applicazione e un punto fisso, detto centro della forza, e tale che in ogni momento il modulo sia funzione esclusivamente del raggio vettore tra il punto di applicazione della forza e il centro.

Per convenzione, il verso della forza si intende verso l'esterno rispetto al centro di forza. Per tale motivo, se la forza è uscente dal centro di forza essa è detta repulsiva, al contrario, se è entrante allora essa è detta attrattiva:

Le forze centrali sono dette a simmetria sferica se il modulo della forza dipende unicamente dalla distanza tra il punto di applicazione e il centro O e non dall'orientazione del raggio vettore che congiunge i due punti:

Esempi di forze centrali sono:

  • la forza gravitazionale, proporzionale a 1/r2, di verso opposto al vettore posizione (forza attrattiva);
  • la forza elettrostatica, proporzionale a 1/r2; il segno delle cariche elettriche interagenti determina se è attrattiva o repulsiva;
  • la forza elastica, nel caso di una molla ancorata nell'origine del sistema di riferimento, proporzionale a r, di verso opposto al vettore posizione (forza attrattiva).

Momento meccanico

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In un campo di forze centrali, il momento meccanico rispetto al polo O è ovunque nullo:

A causa di ciò si conserva il momento angolare:

Per un punto materiale il momento angolare è definito come ; siccome è perpendicolare al piano in cui giace la traiettoria (individuato da e ) ed è costante, segue che l'intera orbita giace su un piano costante, ovvero che il moto avviene su un piano.

Inoltre ciò comporta che la velocità areolare è costante

Conservatività

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Le forze centrali sono anche forze conservative. Questo si può mostrare verificando esplicitamente che il lavoro non dipenda dalla curva su cui è stato calcolato. Consideriamo una forza centrale e un qualsiasi percorso di estremi A e B. Poiché per ipotesi:

dove è il versore relativo al vettore posizione, si ha:

Siccome in coordinate polari il vettore spostamento elementare è , abbiamo:

Quindi il lavoro compiuto dalla forza dipende solo dalle distanze di partenza e di arrivo del punto di applicazione. Se la f è integrabile abbiamo esplicitamente una funzione potenziale ed un'energia potenziale associate. L'energia potenziale è

con posto arbitrariamente uguale a per forze nulle all'infinito.

In quanto conservativi, per i campi a forze centrali vale la seguente relazione: . Preso il generico campo di forze centrali

,

con versore di direzione radiale e , si definisce la funzione di energia potenziale:

.

Dunque, calcoliamo

Dal sistema segue che

Essendo , si ha:

Si può anche mostrare che una forza centrale è irrotazionale: si può verificare che il rotore di una forza centrale è nullo ovunque (è necessario che f(r) sia una funzione continua e derivabile nel suo dominio di definizione):

L'irrotazionalità del campo è necessaria per la sua conservatività ma non basta: la funzione deve essere definita su un dominio semplicemente connesso (per esempio le forze gravitazionale e di Coulomb).

Voci correlate

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