Velocità areolare

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La velocità areolare è l'area (mostrata in verde) spazzata per unità di tempo dal vettore posizione di una particella che si muova lungo una curva (in blu).

La velocità areolare in geometria differenziale delle curve è la velocità con cui una superficie viene spazzata dal raggio vettore di un punto che si muove lungo una curva. La velocità areolare è la grandezza del vettore velocità areolare, che è parallelo (ma non necessariamente proporzionale in modulo) al vettore velocità angolare.

Generalità[modifica | modifica wikitesto]

Dato un oggetto in moto, si chiama velocità areolare la quantità vettoriale avente modulo pari alla derivata rispetto al tempo dell'area spazzata dal vettore posizione (raggio vettore) , direzione perpendicolare al piano istantaneo dell'orbita e verso dato dalla regola della mano destra:

Nel SI si misura in .

Se il moto avviene sotto l'azione di una forza centrale, ovvero diretta sempre lungo la retta congiungente la posizione istantanea con un polo fisso, rispetto a tale polo si ha che il momento meccanico è nullo e quindi il momento angolare e la velocità areolare si conservano.

Valutazione del modulo[modifica | modifica wikitesto]

La velocità areolare dipende dal punto di riferimento: l'origine del sistema di coordinate del raggio vettore, che risulta funzione del tempo. La figura mostra una curva regolare in blu. Al tempo una particella mobile si trova posta in , mentre al tempo la particella si è spostata in . L'area spazzata durante il periodo di tempo dal raggio vettore è approssimativamente uguale all'area del triangolo e diventa esatta al limite per . Nel frattempo, i vettori e si sommano con la regola del parallelogramma nel vettore , cosicché il punto risulta il quarto angolo del parallelogramma indicato nella figura.

L'area del triangolo ABC (in giallo) è metà dell'area del parallelogramma ABCD, e l'area del parallelogramma è uguale alla grandezza del prodotto esterno dei vettori AB e AC, cosicché:

La velocità areolare è:

Ma è la velocità lineare del vettore , per cui: .

Accelerazione areolare[modifica | modifica wikitesto]

Come avviene per le altre velocità, l'accelerazione areolare è definita come la derivata prima, rispetto al tempo, della velocità areolare:

ma e sono vettori paralleli, dunque il loro prodotto vettoriale è nullo, mentre è uguale ad , l'accelerazione tangenziale.

Perciò dalla formula scritta sopra si ottiene:

che è l'espressione dell'accelerazione areolare. Nel SI si misura in .

Moto centrale[modifica | modifica wikitesto]

In un moto centrale la velocità areolare è costante durante il moto:

e quindi l'area spazzata da un raggio vettore ha equazione oraria tipica di un moto uniforme:

Questa è una generalizzazione della seconda legge di Keplero a tutti i moti centrali.

Momenti vettori[modifica | modifica wikitesto]

Si osservi che il doppio della velocità areolare sta al momento angolare e al momento meccanico come la velocità lineare rispettivamente alla quantità di moto e alla forza , cioè:

Inoltre, l'energia cinetica vale:

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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